甘肃省河西五市部分普通高中2020届高三理数第一次联合考试试卷

试卷更新日期：2020-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \log_{2} x}$ $B = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $(- \infty ， 2]$

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2. 若 $α \in (0 ， π)$ ， $sin (π - α) + cos α = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $sin α - cos α$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2 ， a_{3} a_{5} = 4 a_{6}^{2}$ ，则 $a_{3}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知 $m \in R$ ，“函数 $y = 2^{x} + m - 1$ 有零点”是“函数 $y = \log_{m} x$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、即不充分也不必要条件

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5. 已知 $a = \log_{0.3} 2$ ， $b = 2^{0.1}$ ， $c = \sin 789^{\circ}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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6. 已知函数 $y = \sin (2 x + ϕ)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 处取得最大值，则函数 $y = \cos (2 x + ϕ)$ 的图象（）

A、关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称

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7. 已知不等式 $4 x - 3 y + a = 0$ 的解集为 $(- 2 ， - 1)$ ，则二项式 $4 x - 3 y + a = 0$ 展开式的常数项是（）

A、 $- 15$ B、 $15$ C、 $- 5$ D、 $5$

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8. 如图所示的三视图表示的几何体的体积为 $\frac{32}{3}$ ，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $24 π$ C、 $36 π$ D、 $48 π$

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9. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“ $0.618$ 优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用， $0.618$ 就是黄金分割比 $m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的近似值，黄金分割比还可以表示成 $2 \sin 18 °$ ，则 $\frac{m \sqrt{4 - m^{2}}}{2 \cos^{2} 27 ° - 1} =$ （）

A、 $4$ B、 $\sqrt{5} + 1$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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10. 已知点 $A$ 在抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，且 $A$ 为第一象限的点，过 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为 $B$ ， $F$ 为该抛物线的焦点， $| A F | = \frac{7 p}{8}$ ，则直线 $B F$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、-1 D、-2

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11. $F$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 右焦点， $M ， N$ 为双曲线上的点，四边形 $O F M N$ 为平行四边形，且四边形 $O F M N$ 的面积为 $b c$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 设函数 f（x）是定义在 $(- \infty ， 0)$ 上的可导函数，其导函数为 f'（x），且有 2 f（x）+xf'（x）>x² ，则不等式 ${(x + 2018)}^{2} f (x + 2018)$ $- 4 f (- 2) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2020 ， 0)$ B、 $(- \infty ， - 2020)$ C、 $(- 2016 ， 0)$ D、 $(- \infty ， - 2016)$

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二、填空题

13. 已知 $f (x)$ 为偶函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{- x} - x$ ，则 $f (\ln 2) =$ ．

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14. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $\log_{3} (S_{n} + 1) = n + 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为．

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15. 在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = 90^{0} ， A B = B C = 4 ， A D = 2$ ，则向量 $\overset{⇀}{B D}$ 在向量 $\overset{⇀}{A C}$ 上的投影为.

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16. 已知四边形 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2 A D = 4$ ， $M$ 为 $A B$ 的中点，将 $Δ A D M$ 沿 $D M$ 折起，得到四棱锥 $A_{1} - D M B C$ ，设 $A_{1} C$ 的中点为 $N$ ，在翻折过程中，得到如下有三个命题：
① $B N / /$ 平面 $A_{1} D M$ ，且 $B N$ 的长度为定值 $\sqrt{5}$ ；

②三棱锥 $N - D M C$ 的最大体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ；

③在翻折过程中，存在某个位置，使得 $D M ⊥ A_{1} C$ .

其中正确命题的序号为．（写出所有正确结论的序号）

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{2 \sin B \sin C}{\sin A}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $A = \frac{π}{3}$ ，求 $Δ A B C$ 周长的最大值.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $A B ⊥ A D$ ， $A B / / C D$ ， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = 2 A D = 2 C D = 4$ ， $P C = 2 a$ ， $E$ 是 $P B$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $E A C$ 所成角的正弦值.

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19. 2018年1月26日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估.满10分者为“安全食堂”，评分7分以下的为“待改革食堂”.评分在4分以下考虑为“取缔食堂”，所有大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：

(1)、现从16所大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个评分不低于9分的概率；

(2)、以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选3个，记 $X$ 表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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20. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F_{1}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且与 $x$ 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $y^{2} = 4 x$ 上存在两点 $M ， N$ ，椭圆 $C$ 上存在两个 $P ， Q$ 点满足： $M ， N ， F_{1}$ 三点共线， $P ， Q ， F_{1}$ 三点共线，且 $P Q ⊥ M N$ ，求四边形 $P M Q N$ 的面积的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{{(x + a)}^{2}}{2} + \ln x (a \in R)$ 的导函数为 $f' (x)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $x + 3 y + 1 = 0$ 垂直，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f' (x)$ 的两个零点从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $f (x_{2}) > \frac{x_{1}}{2}$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = a \cos φ \\ y = b \sin φ \end{array}$ （ $a > b > 0 ， φ$ 为参数)，在以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{2}$ 是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线 $C_{1}$ 上的点 $M (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 对应的参数 $φ = \frac{π}{3}$ ，射线 $θ = \frac{π}{3}$ 与曲线 $C_{2}$ 交于点 $D (1 ， \frac{π}{3})$

(1)、求曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若点 $A ， B$ 在曲线 $C_{1}$ 上的两个点且 $O A ⊥ O B$ ，求 $\frac{1}{{| O A |}^{2}} + \frac{1}{{| O B |}^{2}}$ 的值.

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23. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = | x - a |$ .

(1)、若 $a = 2$ ，解不等式 $f (x) + f (x + 3) \leq 5$ ；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - f (x + 2 a)$ ，且存在 $x_{0} \in R$ 使得 $g (x_{0}) \geq a^{2} - 2 a$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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