山西省晋城市2019-2020学年高三文数第一次模拟试卷

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知复数 $z = \frac{2}{\sqrt{3} - i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 已知集合 $A = {x | \ln x < 1}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, e)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(- 1, e)$ D、 $(0, 2)$

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3. 经调查，在某商场扫码支付的老年人、中年人、青年人的比例为 $2 : 3 : 5$ ，用分层抽样的方法抽取了一个容量为 $n$ 的样本进行调查，其中中年人人数为9，则 $n =$ （）

A、30 B、40 C、60 D、80

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4. 已知 ${a_{n}}$ 是正项等比数列， $a_{2} a_{8} = 16 - a_{3} a_{7}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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5. 甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则（）

A、甲得分的平均数比乙的大 B、乙的成绩更稳定 C、甲得分的中位数比乙的大 D、甲的成绩更稳定

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6. 已知 $l, m$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，且 $l ∥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则下列命题中为真命题的是（）

A、若 $α ∥ β$ ，则 $l ∥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ C、若 $l ⊥ m$ ，则 $l ∥ β$ D、若 $α ∥ β$ ，则 $m ⊥ α$

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7. 函数 $f (x) = \frac{\ln | x | \cdot \cos x}{x + \sin x}$ 在 $[- π ， 0) \cup (0 ， π]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的直线 $l$ 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，若 $l$ 与圆 $M ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 相切，则 $p =$ （）

A、12 B、8 C、10 D、6

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9. 将函数 $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$ 的图像向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图像，若 $g (x)$ 为奇函数，则 $m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{9}$ B、 $\frac{2 π}{9}$ C、 $\frac{π}{18}$ D、 $\frac{π}{24}$

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10. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两个顶点分别为 $A_{1} (- a, 0)$ ， $A_{2} (a, 0)$ ， $P, Q$ 的坐标分别为 $(0, b)$ ， $(0, - b)$ ，且四边形 $A_{1} P A_{2} Q$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，四边形 $A_{1} P A_{2} Q$ 内切圆的周长为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$ ，则 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 或 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 或 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$

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11. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，异面直线 $B D$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ ，则该长方体外接球的表面积为（）

A、 $98 π$ B、 $196 π$ C、 $784 π$ D、 $\frac{1372}{3} π$

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12. 设函数 $f (x) = (x + 2) \lg \frac{- x - 1}{x + 3} - \frac{1}{\sqrt{4 - {(x + 2)}^{2}}}$ ，则不等式 $f (2 x - 1) \leq f (- \frac{3}{2})$ 的解集是（）

A、 $(0, \frac{1}{4}] \cup [\frac{3}{8}, \frac{1}{2})$ B、 $(- 1, \frac{1}{4}] \cup [\frac{3}{8}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{4}] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ D、 $(- 1, - \frac{3}{4}] \cup [- \frac{1}{4}, 0)$

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二、填空题

13. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 3 y$ 的最小值为.

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14. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, m)$ ， $\overset{⇀}{b} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $m =$ ．

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15. 函数 $f (x) = 3 x^{3} - 5 x + 9$ 的图像在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线垂直于直线 $x + 4 y - 12 = 0$ ，则 $x_{0} =$ .

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16. 对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第 $n$ 层货物的个数为 $a_{n}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ，数列 ${\frac{n}{(n + 2) a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 a - c = 2 b \cos C$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：

年份	2014	2015	2016	2017	2018
销量（万台）	8	10	13	25	24

某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：

	购置传统燃油车	购置新能源车	总计
男性车主		6	24
女性车主	2
总计			30

(1)、求新能源乘用车的销量

y

关于年份

x

的线性相关系数

r

，并判断

y

与

x

是否线性相关；

(2)、请将上述

2 \times 2

列联表补充完整，并判断是否有

90 %

的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；

参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}}$ ， $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ . $\sqrt{635} \approx 25$ ，若 $r > 0.9$ ，则可判断 $y$ 与 $x$ 线性相关.

附表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

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19. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $A B / / C D$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $C D = 1$ ， $A D = 2$ ， $A B = 4$ ，点 $G$ 在线段 $A B$ 上， $A G = 3 G B$ ， $A A_{1} = 1$ .

(1)、证明： $D_{1} G / /$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $D C_{1} G$ 的距离.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的半焦距为 $c$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 与椭圆 $C$ 有且仅有两个公共点，直线 $y = 2$ 与椭圆 $C$ 只有一个公共点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知动直线 $l$ 过椭圆 $C$ 的左焦点 $F$ ，且与椭圆 $C$ 分别交于 $P, Q$ 两点，点 $R$ 的坐标为 $(- \frac{5}{2}, 0)$ ，证明： $\overset{⇀}{R P} \cdot \overset{⇀}{R Q}$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 a \ln x - 2 x + 1$ （其中 $a \in R$ ）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、对任意 $x > 0$ ， $f (x) \leq a^{2} - 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{6} \sin α \\ y = \sqrt{6} \cos α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \cos (θ + \frac{π}{3}) = 2$ .

(1)、求 $C$ 的普通方程和 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $P$ ，经过点 $P$ 的直线 $m$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $| P A | + | P B | = 4 \sqrt{3}$ ，求直线 $m$ 的倾斜角.

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x - 1 | + | 3 x + 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 10$ 的解集；

(2)、正数 $a, b$ 满足 $a + b = 2$ ，证明： $\sqrt{f (x)} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ .

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