山西省晋城市2019-2020学年高三理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \ln x < 1}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, e)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(- 1, e)$ D、 $(0, 2)$

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2. 已知复数 $z = \frac{2}{\sqrt{3} - i}$ ，则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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3. 已知 $\tan α = 3$ ，则 $\cos^{2} α + \sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{7}{10}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7}{10}$

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4. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 3 y$ 的最小值为（）

A、0 B、-4 C、-8 D、-6

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5. 甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则（）

A、甲得分的平均数比乙的大 B、乙的成绩更稳定 C、甲得分的中位数比乙的大 D、甲的成绩更稳定

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6. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = a \ln x + a$ ，若 $f (- e) = 4$ ，则 $f (0) + f (1) =$ （）

A、-1 B、0 C、-2 D、1

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7. 函数 $f (x) = \frac{\ln | x | \cdot \cos x}{x + \sin x}$ 在 $[- π ， 0) \cup (0 ， π]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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9. 已知 $P$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的一点， $F$ 是抛物线 $C$ 的焦点， $O$ 为坐标原点，若 $| P F | = 2$ ， $∠ P F O = \frac{π}{3}$ ，则抛物线 $C$ 的方程为（）

A、 $y^{2} = 6 x$ B、 $y^{2} = 2 x$ C、 $y^{2} = x$ D、 $y^{2} = 4 x$

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10. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，异面直线 $B D$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ ，则该长方体外接球的表面积为（）

A、 $98 π$ B、 $196 π$ C、 $784 π$ D、 $\frac{1372}{3} π$

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11. 双曲线 $m x^{2} + n y^{2} = 1 (m n < 0)$ 的渐近线于圆 ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 9$ 相切，且该双曲线过点 $P (2, \frac{3 \sqrt{5}}{2})$ ，则该双曲线的虚轴长为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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12. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $\sin (A + C) = \frac{2 S}{b^{2} - c^{2}}$ ，则 $\tan C + \frac{1}{2 \tan (B - C)}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、1 D、 $2 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, m)$ ， $\overset{⇀}{b} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{7}$ 的二项展开式中， $x$ 项的系数是．（用数字作答）

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15. 若函数 $f (x) = \sin x - a \cos x$ 图像的一条对称轴方程为 $x = \frac{π}{3}$ ，则 $a =$ ．

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16. 若 $\ln x_{1} - x_{1} - y_{1} + 2 = 0$ ， $x_{2} + 2 y_{2} - 4 - 2 \ln 2 = 0$ ，则 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}$ 的最小值为，此时 $x_{2} =$ .

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三、解答题

17. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S_n＝2n²＋kn＋k，

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、若b_n＝ $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n.

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18. “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：

年份	2014	2015	2016	2017	2018
销量（万台）	8	10	13	25	24

某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：

	购置传统燃油车	购置新能源车	总计
男性车主		6	24
女性车主	2
总计			30

(1)、求新能源乘用车的销量

y

关于年份

x

的线性相关系数

r

，并判断

y

与

x

是否线性相关；

(2)、请将上述

2 \times 2

列联表补充完整，并判断是否有

90 %

的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；

(3)、若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人，记选到女性车主的人数为X，求X的数学期望与方差.

参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}}$ ， $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ . $\sqrt{635} \approx 25$ ，若 $r > 0.9$ ，则可判断 $y$ 与 $x$ 线性相关.

附表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

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19. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $A B ∥ C D$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $C D = 1$ ， $A D = 2$ ， $A B = 4$ ，点 $G$ 在线段 $A B$ 上， $A G = 3 G B$ ， $A A_{1} = 1$ .

(1)、证明： $D_{1} G ∥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

(2)、求二面角 $A_{1} - D_{1} G - A$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的半焦距为 $c$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 与椭圆 $C$ 有且仅有两个公共点，直线 $y = 2$ 与椭圆 $C$ 只有一个公共点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知动直线 $l$ 过椭圆 $C$ 的左焦点 $F$ ，且与椭圆 $C$ 分别交于 $P, Q$ 两点，试问： $x$ 轴上是否存在定点 $R$ ，使得 $\overset{⇀}{R P} \cdot \overset{⇀}{R Q}$ 为定值?若存在，求出该定值和点 $R$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ 且满足 $f (- x) + f (x) = x^{2}$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f' (x) < x$ .

(1)、判断 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上的单调性并加以证明；

(2)、若方程 $f (x) = x$ 有实数根 $x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的一个不动点，设正数 $x_{0}$ 为函数 $g (x) = x e^{x} + a (1 - e^{x}) + x + 1$ 的一个不动点，且 $f (x_{0}) + \frac{1}{2} \geq f (1 - x_{0}) + x_{0}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{6} \sin α \\ y = \sqrt{6} \cos α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \cos (θ + \frac{π}{3}) = 2$ .

(1)、求 $C$ 的普通方程和 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $P$ ，经过点 $P$ 的直线 $m$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $| P A | + | P B | = 4 \sqrt{3}$ ，求直线 $m$ 的倾斜角.

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x - 1 | + | 3 x + 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 10$ 的解集；

(2)、正数 $a, b$ 满足 $a + b = 2$ ，证明： $\sqrt{f (x)} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ .

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