山东省日照市2019-2020学年高三下学期数学1月校际联考试卷

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x²＞1}，则 A∩B=（　　）

A、{x|x＜﹣1或x＞1} B、{﹣2，2} C、{2} D、{0}

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2. 已知复数 z 满足 3-z=1-i （ i 为虚数单位），则复数 z 的模为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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3. 如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈 $= 10$ 尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（）

A、2.55尺 B、4.55尺 C、5.55尺 D、6.55尺

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4. 函数 $f (x) = x^{3} - {(\frac{1}{2})}^{x}$ 的零点所在区间为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(1, 2)$

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5. 三个数 $7^{0.8}$ ， ${0.8}^{7}$ ， $\log_{0.8} 7$ 的大小顺序是（）

A、 $\log_{0.8} 7 < {0.8}^{7} < 7^{0.8}$ B、 $\log_{0.8} 7 < 7^{0.8} < {0.8}^{7}$ C、 ${0.8}^{7} < 7^{0.8} < \log_{0.8} 7$ D、 $7^{0.8} < {0.8}^{7} < \log_{0.8} 7$

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6. 两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 $\frac{5}{6}$ 和 $\frac{3}{4}$ ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 设 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 是非零向量，则 $\overset{⇀}{a} = 2 \overset{⇀}{b}$ 是 $\frac{\overset{⇀}{a}}{| \overset{⇀}{a} |} = \frac{\overset{⇀}{b}}{| \overset{⇀}{b} |}$ 成立的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的体积是 $36 \sqrt{3}$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $Δ P A B$ 是等边三角形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 外接球体积为（）

A、 $28 \sqrt{21} π$ B、 $\frac{99}{2} \sqrt{11} π$ C、 $\frac{63}{2} \sqrt{7} π$ D、 $108 \sqrt{3} π$

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 顶点在原点 $O$ ，以 $x$ 正半轴为始边，终边经过点 $P (1, m) (m < 0)$ ，则下列各式的值恒大于0的是（）

A、 $\frac{\sin α}{\tan α}$ B、 $\cos α - \sin α$ C、 $\sin α \cos α$ D、 $\sin α + \cos α$

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10. 某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（）

A、甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 B、乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 C、甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前 D、甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足条件 $f (x + 2) = - f (x)$ ，且函数 $y = f (x - 1)$ 为奇函数，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 是周期函数 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- 1, 0)$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数 D、函数 $y = f (x)$ 为 $R$ 上的单调函数

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12. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则（）

A、以线段 $A B$ 为直径的圆与直线 $x = - \frac{3}{2}$ 相离 B、以线段 $B M$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切 C、当 $\overset{⇀}{A F} = 2 \overset{⇀}{F B}$ 时， $| A B | = \frac{9}{2}$ D、 $| A B |$ 的最小值为4

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三、填空题

13. 已知 $\tan α = 3$ ，则 $\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + \cos α}$ 的值为.

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14. 二项式 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项是.（用数字作答）

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15. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，双曲线 $N ： \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ . 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为

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16. 已知函数 $f (x) = 9 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ ，当 $x \in [0 ， 10 π]$ 时，把函数 $F (x) = f (x) - 6$ 的所有零点依次记为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{n}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < \cdot \cdot \cdot < x_{n}$ ，记数列 ${x_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $2 S_{n} - (x_{1} + x_{n}) =$ .

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四、解答题

17. 在① $Δ A B C$ 面积 $S_{Δ A B C} = 2$ ，② $∠ A D C = \frac{π}{6}$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求 $A C$ .
如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = \frac{3 π}{4}$ ， $∠ B A C = ∠ D A C$ ，， $C D = 2 A B = 4$ ，求 $A C$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} + 1 = 2 a_{n} + n, b_{n} - a_{n} = n, b_{1} = 2$ .

(1)、证明数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，并求数列 ${b_{n}}$ 的通项；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，扇形 $A O B$ 的半径为 $2$ ，圆心角 $∠ A O B = 120^{\circ}$ ，点 $C$ 为弧 $A B$ 上一点， $P O ⊥$ 平面 $A O B$ 且 $P O = \sqrt{5}$ ，点 $M \in P B$ 且 $B M = 2 M P$ ， $P A$ ∥平面 $M O C$ ．

(1)、求证：平面 $M O C$ $⊥$ 平面 $P O B$ ；

(2)、求平面 $P O A$ 和平面 $M O C$ 所成二面角的正弦值的大小.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的焦距为2，且过点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的上顶点为 $B$ ，右焦点为 $F$ ，直线 $l$ 与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点，问是否存在直线 $l$ ，使得 $F$ 为 $Δ B M N$ 的垂心，若存在，求出直线 $l$ 的方程：若不存在，说明理由.

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21. 某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产

x (5 \leq x \leq 15)

万件的该种产品所需要的总成本

C (x) = \frac{x^{3}}{9} - \frac{23}{10} x^{2} + 16 x + 30

（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在

[25.26 ， 25.30)

，

[25.30 ， 25.34)

，

[25.34 ， 25.38)

，

[25.38 ， 25.42)

，

[25.42 ， 25.46)

，

[25.46 ， 25.50)

，

[25.50 ， 25.54]

（单位：

mm

）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.

产品的品质情况和相应的价格 $m$ （元/件）与年产量 $x$ 之间的函数关系如下表所示.

产品品质	立品尺寸的范围	价格 $m$ 与产量 $x$ 的函数关系式
优	$[25.34 ， 25.46)$	$m = - x + 34$
中	$[25.26 ， 25.34)$	$m = - \frac{3}{5} x + 25$
差	$[25.46 ， 25.54]$	$m = - \frac{3}{5} x + 20$

以频率作为概率解决如下问题：

(1)、求实数

a

的值；

(2)、当产量

x

确定时，设不同品质的产品价格为随机变量

ξ

，求随机变量

ξ

的分布列；

(3)、估计当年产量

x

为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ， $g (x) = e^{x}$ .

(1)、若函数 $h (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + x [1 - (a + 1) f (x)]$ 有唯一的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： $f (x) + 1 \leq g (x - 1)$ .

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