安徽省阜阳市2019-2020学年高三理数教学质量统测试卷

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 2 < 1 - x < 4}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x - 12 ⩾ 0}$ ，则 $A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 3, 6)$ C、 $(- 3, 6]$ D、 $(- 6, 2)$

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2. 已知复数 $z = 1 - i$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $\frac{1 + z}{\bar{z}} =$ （）

A、 $\frac{3 + i}{2}$ B、 $\frac{1 + i}{2}$ C、 $\frac{1 - 3 i}{2}$ D、 $\frac{1 + 3 i}{2}$

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3. 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）

A、 $6 .25 %$ B、 $7.5 %$ C、 $10.25 %$ D、 $31.25 %$

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4. 已知 $\tan α = \sqrt{2}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{4 + \sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{4 - \sqrt{2}}{6}$

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5. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \leq 0 ， \\ x + y \leq 2 ， \\ x + 1 \geq 0 ， \end{array}$ ，则 $z = 4 x + y$ 的取值范围为（）

A、 $[- 5 ， - 1]$ B、 $[- 5 ， 5]$ C、 $[- 1 ， 5]$ D、 $[- 7 ， 3]$

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6. 山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位： $m m$ ）服从正态分布 $N (80, 5^{2})$ ，则直径在 $(75, 90]$ 内的概率为（）
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X ⩽ μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X ⩽ μ + 2 σ) = 0.9544$ .

A、0.6826 B、0.8413 C、0.8185 D、0.9544

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7. 将函数 $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$ 的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象.若 $g (x)$ 为奇函数，则 $m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{18}$ B、 $\frac{π}{9}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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8. 在 $Δ A B C$ 中，“ $B = \frac{π}{4}$ ”是“ $\tan C (\sqrt{2} \sin C - 2 \cos A) = 2 \sin A - \sqrt{2} \cos C$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为 $r_{1}$ ，大圆柱底面半径为 $r_{2}$ ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为 $h_{1}$ ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为 $h_{2}$ ，则 $\frac{h_{1}}{h_{2}} =$ （）

A、 $\frac{r_{2}}{r_{1}}$ B、 ${(\frac{r_{2}}{r_{1}})}^{2}$ C、 ${(\frac{r_{2}}{r_{1}})}^{3}$ D、 $\sqrt{\frac{r_{2}}{r_{1}}}$

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (- x)$ ，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数，不等式 $f (a x + 2) \leq f (- 1)$ 对于 $x \in [1, 2]$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{2}, - 1]$ B、 $[- 1, - \frac{1}{2}]$ C、 $[- \frac{1}{2}, 0]$ D、 $[0, 1]$

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11. 双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为双曲线左支上一点，且 $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot (\overset{⇀}{O F_{1}} + \overset{⇀}{O P}) = 0$ （ $O$ 为坐标原点）， $\cos ∠ P F_{2} F_{1} = \frac{12}{13}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{13}{5}$ D、 $\frac{13}{7}$

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12. 设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - t (\ln x + x + \frac{2}{x})$ 恰有两个极值点，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{e}{3}) \cup (\frac{e}{3} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}] \cup (\frac{e}{3} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ， $a_{4} - a_{2} = 6$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{8}$ 成等比数列，则 $\frac{S_{10}}{a_{3}} =$ .

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14. 根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有 $Δ A B C$ 满足“勾3股4弦5”，其中“股” $A B = 4$ ， $D$ 为“弦” $B C$ 上一点（不含端点），且 $Δ A B D$ 满足勾股定理，则 $(\overset{⇀}{C B} - \overset{⇀}{C A}) \cdot \overset{⇀}{A D} =$ .

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15. $(x^{2} + 2) {(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中所有项的系数和为，常数项为.

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16. 过抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 的准线上任意一点 $P$ 作抛物线的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则 $A$ 点到准线的距离与 $B$ 点到准线的距离之和的最小值是.

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三、解答题

17. $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(\sin A + \sin B) (a - b) + b \sin C = c \sin C$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 的中点，且 $A D = \sqrt{7}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 2 c$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} - 3 a_{n + 1} = a_{n} a_{n + 1} + 1$ .

(1)、证明数列 ${\frac{1}{a_{n} + 1}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n} + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（

AQI

）的检测数据，结果统计如下：

$AQI$	$[0, 50]$	$(50, 100]$	$(100, 150]$	$(150, 200]$	$(200, 250]$	$(250, 300]$
空气质量	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染
天数	6	14	18	27	25	10

(1)、从空气质量指数属于

[0, 50]

，

(50, 100]

的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

(2)、已知某企业每天的经济损失

y

（单位：元）与空气质量指数

x

的关系式为

y = {\begin{array}{l} 0, 0 ⩽ x ⩽ 100, \\ 220, 100 < x ⩽ 250, \\ 1480, 250 < x ⩽ 300, \end{array}

，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.

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20. 如图1，在等腰梯形 $A B F_{1} F_{2}$ 中，两腰 $A F_{2} = B F_{1} = 2$ ，底边 $A B = 6$ ， $F_{1} F_{2} = 4$ ， $D$ ， $C$ 是 $A B$ 的三等分点， $E$ 是 $F_{1} F_{2}$ 的中点.分别沿 $C E$ ， $D E$ 将四边形 $B C E F_{1}$ 和 $A D E F_{2}$ 折起，使 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 重合于点 $F$ ，得到如图2所示的几何体.在图2中， $M$ ， $N$ 分别为 $C D$ ， $E F$ 的中点.

(1)、证明： $M N ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(2)、求直线 $C N$ 与平面 $A B F$ 所成角的正弦值.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，斜率为1的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $O B ⊥ A B$ ，其中 $O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设过点 $F$ 且与直线 $A B$ 平行的直线与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{O P} = 3 \overset{⇀}{P M}$ ，且 $N P$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $Q$ ，求 $\frac{| N P |}{| P Q |}$ 的值.

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22. 设函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ， $g (x) = t \ln x$ ，其中 $x \in (0 ， 1)$ ， $t$ 为正实数.

(1)、若 $f (x)$ 的图象总在函数 $g (x)$ 的图象的下方，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、设 $H (x) = (\ln x - x^{2} + 1) e^{x} + (x^{2} - 1) (1 - \frac{1}{x})$ ，证明：对任意 $x \in (0 ， 1)$ ，都有 $H (x) > 0$ .

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