2020年普通高考数学适应性测试试卷（天津卷)

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ，集合 $A = {- 2, 0, 1, 2}$ ， $B = {- 1, 0, 1}$ ，则 $A \cap C_{U} B =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${- 2, 2}$ C、 ${- 2, - 1}$ D、 ${- 2, 0, 2}$

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2. 设 $a \in R$ ，则“ $a \geq 2$ ”是“ $a^{2} - 3 a + 2 \geq 0$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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3. 函数 $y = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积是36，点E在棱 $C C_{1}$ 上，且 $C E = 2 E C_{1}$ ，则三棱锥E-BCD的体积是（）

A、3 B、4 C、6 D、12

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5. 某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分布表和频率分布直方图如图，则图中t的值为（）

分组	频数	频率
$[0 ， 0.5)$	4	0.04
$[0.5 ， 1)$	8	0.08
$[1 ， 1.5)$	15	a
$[1.5 ， 2)$	22	0.22
$[2 ， 2.5)$	m	0.25
$[2.5 ， 3)$	14	0.14
$[3 ， 3.5)$	6	0.06
$[3.5 ， 4)$	4	0.04
$[4 ， 4.5)$	2	0.02
合计	100	1.00

A、

0.15

B、

0.075

C、

0.3

D、

15

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6. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数且在区间 $[0, + \infty)$ 单调递减，则（）

A、 $f (\log_{2} π) > f (\log_{2} \frac{1}{3}) > f (2^{- π})$ B、 $f (\log_{2} \frac{1}{3}) > f (2^{- π}) > f (\log_{2} π)$ C、 $f (2^{- π}) > f (\log_{2} \frac{1}{3}) > f (\log_{2} π)$ D、 $f (2^{- π}) > f (\log_{2} π) > f (\log_{2} \frac{1}{3})$

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7. 抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点与双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p的值为（）

A、 $\frac{15}{2}$ B、 $\frac{40}{3}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{7}}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{4}$ 对称 C、 $\frac{7 π}{4}$ 是 $f (x)$ 的一个零点 D、 $f (x)$ 在区间 $(π ， \frac{3 π}{2})$ 单调递减

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， & x ⩽ 0 \\ \frac{2 x - 4}{x} ， & x > 0 \end{array}$ ，若函数 $F (x) = f (x) - | k x - 1 |$ 有且只有3个零点，则实数k的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{9}{16})$ B、 $(\frac{9}{16} ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{1}{16} ， 0) \cup (0 ， \frac{9}{16})$

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二、填空题

10. i是虚数单位，复数 $\frac{3 + 2 i}{1 - i} =$ .

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11. 已知直线 $x + 2 y - 5 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 交于点A,B两点，则线段AB的长为.

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12. 在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中，常数项是．

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13. 已知某同学投篮投中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中两次的概率为：；记X为该同学在这3次投篮中投中的次数,则随机变量X的数学期望为.

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14. 已知 $a > 0, b > 0$ ，则 $\frac{a^{2} + 4 b^{2} + a^{3} b^{3}}{a^{2} b^{2}}$ 的最小值为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 ， A C = 2 ， ∠ B A C = 60^{°}$ ，D，E分别边AB，AC上的点， $A E = 1$ 且 $\overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{A E} = \frac{1}{2}$ ，则 $| \overset{⇀}{A D} | =$ ，若P是线段DE上的一个动点，则 $\overset{⇀}{B P} \cdot \overset{⇀}{C P}$ 的最小值为.

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三、解答题

16. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 $3 {(a - c)}^{2} = 3 b^{2} - 2 a c$

(1)、求 $cos B$ 的值

(2)、若 $5 a = 3 b$
（i）求 $\sin A$ 的值

（ii）求 $\sin (2 A + \frac{π}{6})$ 的值.

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17. 如图，在四棱锥P一ABCD中，已知 $A B = B C = \sqrt{5} ， A C = 4 ， A D = D C = 2 \sqrt{2}$ ，点Q为AC中点， $P O ⊥$ 底面ABCD， $P O = 2$ ，点M为PC的中点.

(1)、求直线PB与平面ADM所成角的正弦值；

(2)、求二面角D-AM-C的正弦值；

(3)、记棱PD的中点为N，若点Q在线段OP上，且 $N Q / /$ 平面ADM，求线段OQ的长.

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，点 $T (2 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 在椭圆上

(1)、求椭圆的方程；

(2)、已短直线 $y = \sqrt{2} x + m$ 与椭交于A、B两点，点P的坐标为 $(2 \sqrt{2}, 0)$ ，且 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B} = - 1$ ,求实数m的值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为1的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是等比数，且 $a_{3} + a_{4} = a_{7}$ , $b_{2} \cdot b_{4} = b_{5}$ , $a_{4} = 4 b_{2} - b_{3}$ 数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{array}{l} b_{2 m - 1}, & n = 3 m - 2 \\ b_{2 m}, & n = 3 m - 1 \\ a_{m}, & n = 3 m \end{array}$ 其中 $m \in N^{*}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式

(2)、记 $t_{n} = c_{3 n - 2} c_{3 n - 1} + c_{3 n - 1} c_{3 n} + c_{3 n} c_{3 n + 1} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${t_{n}}$ 的前n项和.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x \ln x$ ，函数 $g (x) = x + \frac{a}{x} - {(\ln x)}^{2}$ ，其中 $a \in R$ ， $x_{0}$ 是 $g (x)$ 的一个极值点，且 $g (x_{0}) = 2$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性

(2)、求实数 $x_{0}$ 和a的值

(3)、证明 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{4 k^{2} - 1}} > \frac{1}{2} \ln (2 n + 1) (n \in N^{*})$

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