辽宁省沈阳市2020年1月文数一模试卷

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${0}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 命题 $p ： \forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{5}}$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $x^{\frac{1}{3}} \neq x^{\frac{1}{5}}$ B、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x^{\frac{1}{3}} \neq x^{\frac{1}{5}}$ C、 $\exists x \in (- \infty ， 0)$ ， $x^{\frac{1}{3}} \neq x^{\frac{1}{5}}$ D、 $\forall x \in (- \infty ， 0)$ ， $x^{\frac{1}{3}} \neq x^{\frac{1}{5}}$

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3. 已知 $\frac{z}{1 + i} = 2 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $3 - i$ B、 $1 - i$ C、 $3 + i$ D、 $1 + i$

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4. 已知 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 均为单位向量，若 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 若实数x，y满足不等式组 ${\begin{array}{l} y \geq - 2 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \\ x + y - 1 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、4 B、 $\frac{2}{3}$ C、-6 D、6

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6. 函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x - 2 \cos^{2} x + 1$ ，则下列选项正确的是（）

A、当 $x = \frac{π}{6}$ 时， $f (x)$ 取得最大值 B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， 0]$ 单调递增 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6}]$ 单调递减 D、 $f (x)$ 的一个对称轴为 $x = \frac{π}{12}$

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7. 已知 $a = 3^{\frac{1}{3}}$ ， $b = 2^{\frac{1}{2}}$ ， $c = \log_{3} 2$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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8. 已知a，b为两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 为三个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ）
①若 $a // α$ ， $α // β$ ，则 $a // β$                 ②若 $α // β$ ， $β // γ$ ，则 $α // γ$

③若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a // b$                ④若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$

A、①③ B、②③ C、①②③ D、②③④

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9. 新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（）

A、丙没有选化学 B、丁没有选化学 C、乙丁可以两门课都相同 D、这四个人里恰有2个人选化学

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10. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{2} \cdot a_{7}^{2} \cdot a_{2020} = 16$ ，则 $a_{1} \cdot a_{2} \dots \cdot a_{1017} =$ （）

A、 $4^{1017}$ B、 $2^{1017}$ C、 $4^{1018}$ D、 $2^{1018}$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别为直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ ，若点A，B为直线 $l_{1}$ 上关于原点对称的不同两点，点M为直线 $l_{2}$ 上一点，且 $k_{A M} \cdot k_{B M} = \frac{\sqrt{3} b}{a}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的偶函数，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} {(x - 1)}^{2} ， 0 < x \leq 2 \\ \frac{1}{2} f (x - 2) ， x > 2 \end{array}$ ，则函数 $g (x) = 8 f^{2} (x) - 6 f (x) + 1$ 的零点个数为（）

A、20 B、18 C、16 D、14

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二、填空题

13. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点P在椭圆C上，已知 $| P F_{1} | = 3$ ，则 $| P F_{2} | =$ .

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14. 已知四张卡片上分别标有数字2，2，3，3，随机取出两张卡片，数字相同的概率为.

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{3} = 10$ ， $S_{9} = 72$ .数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 2$ ， $b_{n} b_{n + 1} = - 2$ .则 $a_{7} b_{2020} =$ .

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16. 在四面体ABCD中，若 $A D = D C = A C = C B = 1$ ，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为.

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a \cos B + b \cos A = \frac{\sqrt{7}}{7} a c$ ， $\sin 2 A = \sin A$ .

(1)、求A及a；

(2)、若 $b - c = 2$ ，求b，c.

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18. 如图，已知 $△ A B C$ 为等边三角形， $△ A B D$ 为等腰直角三角形， $A B ⊥ B D$ .平面 $A B C ⊥$ 平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且 $C E ∥ B D$ ， $B D = 2 C E$ .点F为AD中点，连接EF.

(1)、求证： $E F ∥$ 平面ABC；

(2)、求证：平面 $A E D ⊥$ 平面ABD.

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19. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台.某单位共有党员200人（男女各100人），从2019年1月1日起在“学习强国”学习平台学习.现统计他们的学习积分，得到如下男党员的频率分布表和女党员的频率分布直方图.

女党员

男党员

积分

（单位：千）

$[2 ， 4)$

$[4 ， 6)$

$[6 ， 8)$

$[8 ， 10)$

$[10 ， 12)$

人数

（单位：人）

(1)、已知女党员中积分不低于6千分的有72人，求图中a与b的值；

(2)、估算女党员学习积分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和女党员学习积分的中位数（精确到0.1千分）；

(3)、若将学习积分不低于8千分的党员视为学习带头人，完成下面

2 \times 2

列联表，并判断能否有95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关?

	男党员	女党员	合计
带头人
非带头人
合计	100	100	200

相关公式即数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

$P (x^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010
k	2.706	3.841	6.635

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $A (2 ， 2)$ ，点B在抛物线C上，且满足 $\overset{⇀}{O F} = \overset{⇀}{F B} - 2 \overset{⇀}{F A}$ （O为坐标原点）.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过焦点F任作两条相互垂直的直线l与l $D^{'}$ ，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线l $D^{'}$ 与抛物线C交于M，N两点， $△ O P Q$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $△ O M N$ 的面积记为 $S_{2}$ ，求证： $\frac{1}{S_{1}^{2}} + \frac{1}{S_{2}^{2}}$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{x} + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、当函数 $g (x) = (x + 1) \ln x - a (x - 1)$ 有两个极值点时，求实数a的取值范围.

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22. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 $C ： ρ = 4 \cos θ$ ，直线l的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = 3 + 2 t \\ y = - 1 + t \end{array}$ （t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.

(1)、写出曲线C和直线l的普通方程；

(2)、若点 $P (3 ， - 1)$ ，求 $\frac{1}{| P M |} - \frac{1}{| P N |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 3 | - | x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) > 2 a - | 3 x - 3 |$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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