辽宁省沈阳市2020年1月理数一模试卷

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${0}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 命题 $p ： \forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{5}}$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $x^{\frac{1}{3}} \neq x^{\frac{1}{5}}$ B、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x^{\frac{1}{3}} \neq x^{\frac{1}{5}}$ C、 $\exists x \in (- \infty ， 0)$ ， $x^{\frac{1}{3}} \neq x^{\frac{1}{5}}$ D、 $\forall x \in (- \infty ， 0)$ ， $x^{\frac{1}{3}} \neq x^{\frac{1}{5}}$

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3. 已知复数z满足 $z - \bar{z} = 0$ ，且 $z \cdot \bar{z} = 4$ ，则 $z =$ （）

A、2 B、2i C、 $\pm 2$ D、 $\pm 2 i$

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4. 已知 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 均为单位向量，若 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 若实数x，y满足不等式组 ${\begin{array}{l} y \geq - 2 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \\ x + y - 1 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、4 B、 $\frac{2}{3}$ C、-6 D、6

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6. 已知 $a = 3^{\frac{1}{3}}$ ， $b = 2^{\frac{1}{2}}$ ， $c = \log_{3} 2$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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7. 垃圾分类是一种新时尚，沈阳市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现对沈阳市甲、乙两个小区进行评比，从中各随机选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分.评分后得到如下茎叶图.通过茎叶图比较甲、乙两个小区得分的平均值及方差大小（）

A、 ${\bar{x}}_{甲} < {\bar{x}}_{乙}$ ， $s_{甲}^{2} < s_{乙}^{2}$ B、 ${\bar{x}}_{甲} > {\bar{x}}_{乙}$ ， $s_{甲}^{2} < s_{乙}^{2}$ C、 ${\bar{x}}_{甲} < {\bar{x}}_{乙}$ ， $s_{甲}^{2} > s_{乙}^{2}$ D、 ${\bar{x}}_{甲} > {\bar{x}}_{乙}$ ， $s_{甲}^{2} > s_{乙}^{2}$

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8. 已知a，b为两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 为三个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ）
①若 $a // α$ ， $α // β$ ，则 $a // β$                 ②若 $α // β$ ， $β // γ$ ，则 $α // γ$

③若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a // b$                ④若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$

A、①③ B、②③ C、①②③ D、②③④

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9. 新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（）

A、丙没有选化学 B、丁没有选化学 C、乙丁可以两门课都相同 D、这四个人里恰有2个人选化学

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别为直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ ，若点A，B为直线 $l_{1}$ 上关于原点对称的不同两点，点M为直线 $l_{2}$ 上一点，且 $k_{A M} \cdot k_{B M} = \frac{\sqrt{3} b}{a}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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11. 如果将函数 $y = \sqrt{5} \sin x + \sqrt{5} \cos x$ 的图象向右平移 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ 个单位得到函数 $y = 3 \sin x + a \cos x (a < 0)$ 的图象，则 $\tan θ$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的偶函数，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} {(x - 1)}^{2} ， 0 < x \leq 2 \\ \frac{1}{2} f (x - 2) ， x > 2 \end{array}$ ，则函数 $g (x) = 8 f^{2} (x) - 6 f (x) + 1$ 的零点个数为（）

A、20 B、18 C、16 D、14

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二、填空题

13. 已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{m + 3} + \frac{y^{2}}{m - 6} = 1 (m > 6)$ ，则其焦距为.

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{3} = 10$ ， $S_{9} = 72$ .数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 2$ ， $b_{n} b_{n + 1} = - 2$ .则 $a_{7} b_{2020} =$ .

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15. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有种.

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16. 在四面体ABCD中，若 $A D = D C = A C = C B = 1$ ，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为.

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a \cos B + b \cos A = \frac{\sqrt{7}}{7} a c$ ， $\sin 2 A = \sin A$ .

(1)、求A及a；

(2)、若 $b - c = 2$ ，求BC边上的高.

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18. 如图，已知 $Δ A B C$ 为等边三角形， $Δ A B D$ 为等腰直角三角形， $A B ⊥ B D$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且 $C E // B D$ ， $B D = 2 C E$ .点F为AD中点，连接EF.

(1)、求证： $E F //$ 平面ABC；

(2)、求二面角 $C - A E - D$ 的余弦值.

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19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $A (2 ， 2)$ ，点B在抛物线C上，且满足 $\overset{⇀}{O F} = \overset{⇀}{F B} - 2 \overset{⇀}{F A}$ （O为坐标原点）.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过焦点F任作两条相互垂直的直线l与l $D^{'}$ ，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线l $D^{'}$ 与抛物线C交于M，N两点， $△ O P Q$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $△ O M N$ 的面积记为 $S_{2}$ ，求证： $\frac{1}{S_{1}^{2}} + \frac{1}{S_{2}^{2}}$ 为定值.

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20. 在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：

(1)、若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，求甲队最后赢得整场比赛的概率；

(2)、若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为 $\frac{2}{5}$ ，乙发球时甲赢1分的概率为 $\frac{3}{5}$ ，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了 $x (x \leq 4)$ 个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率p（x）.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - a (\frac{x - 1}{x + 1})$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x) = \ln x - a (\frac{x - 1}{x + 1})$ 有三个零点，求实数a的取值范围.

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22. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 $C ： ρ = 4 \cos θ$ ，直线l的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = 3 + 2 t \\ y = - 1 + t \end{array}$ （t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.

(1)、写出曲线C和直线l的普通方程；

(2)、若点 $P (3 ， - 1)$ ，求 $\frac{1}{| P M |} - \frac{1}{| P N |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 3 | - | x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) > 2 a - | 3 x - 3 |$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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