江西省上饶市2020年1月理数一模试卷

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | y = \sqrt{1 - x}}$ ， $B = {x | (x + 1) (x - 2) < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 1]$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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2. 计算 $\frac{3 + 4 i}{1 - 2 i} =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $- 1 + 2 i$

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3. 已知直线 $m ⊥$ 平面 $α$ ，则“直线 $n ⊥ m$ ”是“ $n ∥ α$ ”的(　　)

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 上海地铁 $2$ 号线早高峰时每隔 $4.5$ 分钟一班，其中含列车在车站停留的 $0.5$ 分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{10}$

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5. 《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：现一善于织布的女子，从第 $2$ 天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的常量），第 $1$ 天织了五尺，一个月（按 $30$ 天计算）共织九匹三丈（一匹 $=$ 四丈，一丈 $=$ 十尺），则该女子第 $30$ 天比第 $1$ 天多织布的尺数为（）

A、 $16$ B、 $17$ C、 $19$ D、 $21$

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6. 已知 $M O D$ 函数是一个求余数函数， $M O D (m ， n)$ $(m \in N_{+} ， n \in N_{+})$ 表示 $m$ 除以 $n$ 的余数，例如 $M O D (8 ， 3) = 2$ .如图是某个算法的程序框图，若输入 $m$ 的值为 $28$ ，则输出的值为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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7. 已知 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 是不共线的向量， $\overset{⇀}{O A} = λ \overset{⇀}{a} + μ \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{O B} = 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b}$ ，若 $A 、 B 、 C$ 三点共线，则 $λ 、 μ$ 满足（）

A、 $λ = μ - 3$ B、 $λ = μ + 3$ C、 $λ = μ + 2$ D、 $λ = μ - 2$

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8. 已知变量 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} 0 \leq x \leq 3 \\ x + y \geq 0 \\ x - y + 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - 3 y$ 的最大值为（）

A、 $- 9$ B、 $9$ C、 $- 12$ D、 $12$

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9. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x) (ω > 0)$ 在 $x \in [a ， 2] (a < 0)$ 上最大值为 $1$ 且递增，则 $2 - a$ 的最大值为（）

A、 $6$ B、 $7$ C、 $9$ D、 $8$

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10. 已知 $f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ，不等式 $f (a \sqrt{x^{2} + 1}) + f (x^{2} + 2) \leq 0$ 对 $x \in R$ 成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 2]$ D、 $(- \infty ， - 2]$

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11. 在直角坐标系 $x O y$ 中， $F_{1} 、 F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是双曲线右支上的一点，满足 $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P F_{2}} = 0$ ，若点 $P$ 的横坐标取值范围是 $x_{0} \in (\frac{5}{4} a ， \frac{4}{3} a)$ ，则双曲线 $C$ 的离心率取值范围为（）

A、 $(\frac{5}{4} ， \frac{4}{3})$ B、 $(\frac{16}{7} ， \frac{9}{2})$ C、 $(\frac{4 \sqrt{7}}{7} ， \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ D、 $(\frac{4 \sqrt{5}}{5} ， \frac{5 \sqrt{2}}{3})$

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12. 已知对任意实数 $x$ 都有 $f^{'} (x) = 3 e^{x} + f (x)$ ， $f (0) = - 1$ ，若不等式 $f (x) < a (x - 2)$ （其中 $a < 1$ ）的解集中恰有两个整数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{4}{3 e} ， \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{4}{3 e} ， 1)$ C、 $[\frac{7}{4 e^{2}} ， \frac{4}{3 e})$ D、 $[\frac{7}{4 e^{2}} ， \frac{1}{2})$

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二、填空题

13. 若直线 $2 x - c y + 1 = 0$ 是抛物线 $x^{2} = y$ 的一条切线，则 $c =$ ．

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14. 一个棱长为 $2$ 的正方体中有一个实心圆柱体，圆柱的上、下底面在正方体的上、下底面上，侧面与正方体的侧面相切，则在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球的半径为．

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{3}{2} + a \cdot 3^{n}$ ，则 $\frac{S_{6}}{S_{3}} =$ ．

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16. 一只蚂蚁从一个正四面体 $A B C D$ 的顶点 $A$ 出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点 $A$ 的爬行方法种数是．

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三、解答题

17. 已知 $f (x) = 4 \tan x \sin (\frac{π}{2} - x)$ $\cos (\frac{π}{3} - x) - \sqrt{3}$ ， $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $B$ 为锐角，且 $f (B) = \sqrt{3}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 3$ ， $a = 2 c$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $Δ S A B$ 是等边三角形，侧面 $S A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 3$ ， $A D = 1$ ，点 $M$ 、点 $N$ 分别在棱 $S B$ 、棱 $C B$ 上， $B M = 2 M S$ ， $B N = 2 N C$ ，点 $P$ 是线段 $M N$ 上的任意一点.

(1)、求证： $A P / /$ 平面 $S C D$ ；

(2)、求二面角 $S - C D - B$ 的大小.

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19. 在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村

100

户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这

100

户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标

x

.将指标

x

按照

[0 ， 0.2)

，

[0.2 ， 0.4)

，

[0.4 ， 0.6)

，

[0.6 ， 0.8)

，

[0.8 ， 1.0]

分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若

0 \leq x < 0.6

，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当

0 \leq x < 0.2

时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这

100

户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.

(1)、完成下面的列联表，并判断是否有

95 %

的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：

	受教育水平良好	受教育水平不好	总计
绝对贫困户	$2$
相对贫困户		$52$
总计			$100$

(2)、上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于

[0 ， 0.4)

的贫困户中，随机选取两户，用

X

表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求

X

的分布列和数学期望

E X

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$
$k_{0}$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其右顶点为 $A$ ，下顶点为 $B$ ，定点 $C (0 ， 2)$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $3$ ，过点 $C$ 作与 $y$ 轴不重合的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，直线 $B P ， B Q$ 分别与 $x$ 轴交于 $M ， N$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、试探究 $M ， N$ 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = - a \ln x + x + \frac{4 - 2 a}{x}$ .

(1)、当 $a \geq 4$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $g (x) = e^{x} + m x^{2} - 6$ ，当 $a = e^{2} + 2$ 时，对任意 $x_{1} \in [2 ， + \infty)$ ，存在 $x_{2} \in [1 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) + 2 e^{2} \geq g (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ ，（ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 4 ρ \sin θ - 5 = 0$ .

(1)、求圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，定点 $F (3 ， 0)$ ，求 $| F A | + | F B |$ 的值.

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23. 已知实数正数x，y满足 $x + y = 1$ ．

(1)、解关于x的不等式 $| x + 2 y | + | x - y | \leq \frac{5}{2}$ ；

(2)、证明： $(\frac{1}{x^{2}} - 1) (\frac{1}{y^{2}} - 1) \geq 9$

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