山东省潍坊市2020届高三数学2月模拟试卷（二)

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合A＝{x|lnx＜1}，B＝{x|x²﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）

A、（﹣1，2） B、（0，2） C、（﹣1，e） D、（0，e）

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2. 设复数z＝a+bi（a，b∈R），若 $\frac{z}{1 + i} = \frac{i}{2 - i}$ ，则z＝（）

A、 $- \frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} - \frac{1}{5} i$

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3. 已知命题P：有的三角形是等边三角形，则（）

A、¬P：有的三角形不是等边三角形 B、¬P：有的三角形是不等边三角形 C、¬P：所有的三角形都是等边三角形 D、¬P：所有的三角形都不是等边三角形

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4. 2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着 $3 + 1 + 2$ 的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）

A、样本中的女生数量多于男生数量 B、样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量 C、样本中的男生偏爱物理 D、样本中的女生偏爱历史

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5. 函数 $f (x) = \frac{\ln | x | \cdot \cos x}{x + \sin x}$ 在 $[- π ， 0) \cup (0 ， π]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对(p，p+2)称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（）

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{2}{15}$ C、 $\frac{2}{45}$ D、 $\frac{4}{45}$

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7. 已知三棱锥 $D - A B C$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上， $A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，若三棱锥 $D - A B C$ 体积的最大值为2，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $8 π$ B、 $9 π$ C、 $\frac{25 π}{3}$ D、 $\frac{121 π}{9}$

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8. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，一条平行于 $x$ 轴的光线从点 $M (3, 1)$ 射出，经过抛物线上的点 $A$ 反射后，再经抛物线上的另一点 $B$ 射出，则 $Δ A B M$ 的周长为（）

A、 $\frac{71}{12} + \sqrt{26}$ B、 $9 + \sqrt{10}$ C、 $\frac{83}{12} + \sqrt{26}$ D、 $9 + \sqrt{26}$

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二、多选题

9. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）

A、直线 $B C$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成的角等于 $\frac{π}{4}$ B、点C到面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、两条异面直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ D、三棱柱 $A A_{1} D_{1} - B B_{1} C_{1}$ 外接球半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 若 $10^{a} = 4$ ， $10^{b} = 25$ ，则（）

A、 $a + b = 2$ B、 $b - a = 1$ C、 $a b > 81 g^{2} 2$ D、 $b - a > \lg 6$

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11. 已知函数f（x）＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（）

A、f（x）的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、f（x）的周期为 $\frac{π}{2}$ C、（π，0）是f（x）的一个对称中心 D、f（x）在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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12. 将n²个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a₁₁＝2，a₁₃＝a₆₁+1，记这n²个数的和为S.下列结论正确的有（）

A、m＝3 B、 $a_{67} = 17 \times 3^{7}$ C、 $a_{i j} = (3 i - 1) \times 3^{j - 1}$ D、 $S = \frac{1}{4} n (3 n + 1) (3^{n} - 1)$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} =$ （1，1）， $\vec{b} =$ （﹣1，3）， $\vec{c} =$ （2，1），且（ $\vec{a} - λ \vec{b}$ ）∥ $\vec{c}$ ，则λ＝.

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14. (1+ax²)(x﹣3)⁵的展开式中x⁷系数为2，则a的值为.

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15. 双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a ， b > 0 ）$ 的左、右焦点为F₁ ， F₂ ，直线y $= \sqrt{3}$ b与C的右支相交于点P，若|PF₁|＝2|PF₂|，则双曲线C的离心率为；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是 $\sqrt{5}$ ，则双曲线的方程为.

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16. 定义在R上的偶函数f（x）满足f（e+x）＝f（e﹣x），且f（0）＝0，当x∈（0，e]时，f（x）＝lnx已知方程 $f （ x ） = \frac{1}{2} s i n \frac{π}{2 e} x$ 在区间[﹣e，3e]上所有的实数根之和为3ea，将函数 $g （ x ） = 3 s i n^{2} \frac{π}{4} x + 1$ 的图象向右平移a个单位长度，得到函数h（x）的图象，则h（7）＝.

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四、解答题

17. 现在给出三个条件：①a＝2；②B $= \frac{π}{4}$ ；③c $= \sqrt{3}$ b.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定△ABC，并以此为依据，求△ABC的面积.
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足 $（ 2 b - \sqrt{3} c ） c o s A = \sqrt{3} a c o s C$ ，求△ABC的面积（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）

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18. 已知数列{a_n}的首项为a₁＝1，且 $a_{n + 1} = 2 (a_{n} + 1) (n \in N^{*})$ .
（Ⅰ）证明：数列{a_n+2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n＝log₂（a_n+2）﹣log₂3，求数列 ${\frac{3 b_{n}}{a_{n} + 2}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在四棱锥P-ABCD中， $A D = 2 \sqrt{3} ，$ $A B = 3 ，$ $A P = \sqrt{3} ，$ $A D / / B C$ ， $A D ⊥$ 平面PAB， $∠ A P B = 90^{°}$ ，点E满足 $\overset{⇀}{P E} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{P A} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{P B}$ .

(1)、证明： $P E ⊥ D C$ ；

(2)、求二面角A-PD-E的余弦值.

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20. 已知P是圆F₁：（x+1）²+y²＝16上任意一点，F₂（1，0），线段PF₂的垂直平分线与半径PF₁交于点Q，当点P在圆F₁上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0）.

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21. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：

土地使用面积 $x$ （单位：亩）	1	2	3	4	5
管理时间 $y$ （单位：月）	8	10	13	25	24

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:

	愿意参与管理	不愿意参与管理
男性村民	150	50
女性村民	50

参考公式：

$r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{1} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{1} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}},$ $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)},$

其中 $n = a + b + c + d$ ．临界值表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

参考数据： $\sqrt{635} \approx 25.2$

(1)、求出相关系数

r

的大小，并判断管理时间

y

与土地使用面积

x

是否线性相关？

(2)、是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？

(3)、若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为

x

,求

x

的分布列及数学期望．

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x + k x ， k \in R$ .

(1)、求 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) \leq x^{2} + x$ 恒成立，求k的取值范围；

(3)、求证：当 $n \in N^{*}$ 时，不等式 $\sum_{i = 1}^{n} \ln (4 i^{2} - 1) > \frac{2 n^{2} - n}{2 n + 1}$ 成立.

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