山东省泰安市肥城市2020届数学一模试卷

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则A∪B=（　　）

A、（﹣1，2） B、（﹣1，0） C、（0，1） D、（1，2）

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2. 若集合 $P = {1 ， 2 ， 3 ， 4} ， Q = {x | 0 < x < 5 ， x \in R}$ ，则“ $x \in P$ ”是“ $x \in Q$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也非不必要条件

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3. 已知 $\vec{a} = (x, - 4, 2)$ ， $\vec{b} = (3, y, - 5)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的取值范围为（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $[4, + \infty)$ D、 $[5, + \infty)$

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4. 若 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $2^{a} = 3$ ， $b = \log_{2} 5$ ， $3^{c} = 2$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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5. 对数函数 $y = {log}_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 与二次函数 $y = (a - 1) x^{2} - x$ 在同一坐标系内的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 函数 $y = \log_{2} x - \sqrt{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{- x} + 1 (x \leq 0) \\ x^{a} + 2 (x > 0) \end{array}$ ，若 $f (f (- 1)) = 18$ ，那么实数 $a$ 的值是（）

A、4 B、1 C、2 D、3

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8. 2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着 $3 + 1 + 2$ 的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）

A、样本中的女生数量多于男生数量 B、样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量 C、样本中的男生偏爱物理 D、样本中的女生偏爱历史

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二、多选题

9. 设函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) + \cos (2 x + \frac{π}{4})$ ，则 $f (x)$ （）

A、是偶函数 B、在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 单调递减 C、最大值为2 D、其图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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10. 下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

	空调类	冰箱类	小家电类	其它类
营业收入占比	90.10%	4.98%	3.82%	1.10%
净利润占比	95.80%	﹣0.48%	3.82%	0.86%

则下列判断中正确的是（）

A、该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 B、该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C、该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D、剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低

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11. 在空间四边形 $A B C D$ 中， $E ， F ， G ， H$ 分别是 $A B ， B C ， C D ， D A$ 上的点，当 $B D / /$ 平面 $E F G H$ 时，下面结论正确的是（）

A、 $E ， F ， G ， H$ 一定是各边的中点 B、 $G ， H$ 一定是 $C D ， D A$ 的中点 C、 $A E ： E B = A H ： H D$ ，且 $B F ： F C = D G ： G C$ D、四边形 $E F G H$ 是平行四边形或梯形

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）

A、直线 $B C$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成的角等于 $\frac{π}{4}$ B、点C到面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、两条异面直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ D、三棱柱 $A A_{1} D_{1} - B B_{1} C_{1}$ 外接球半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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三、填空题

13. $\arcsin (- \frac{1}{2}) + \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \arctan (- \sqrt{3}) =$ .

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14. 在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l₁.再将直线l₁沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l₁关于点（2，3）对称，则直线l的方程是.

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15. 在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是一个“堑堵”，其中 $A B = B C = B B_{1} = 2$ ，点 $M$ 是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则四棱锥 $M - B_{1} C_{1} C B$ 的外接球的表面积为．

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16. 定义在R上的偶函数f（x）满足f（e+x）＝f（e﹣x），且f（0）＝0，当x∈（0，e]时，f（x）＝lnx已知方程 $f （ x ） = \frac{1}{2} s i n \frac{π}{2 e} x$ 在区间[﹣e，3e]上所有的实数根之和为3ea，将函数 $g （ x ） = 3 s i n^{2} \frac{π}{4} x + 1$ 的图象向右平移a个单位长度，得到函数h（x）的图象，则h（7）＝.

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四、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1}^{2} = a_{9}^{2}$ ， $S_{6} = 18$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值及对应 $n$ 的大小.

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18. 已知函数 $f (x) = \cos^{4} x -$ $2 \sin x \cos x - \sin^{4} x$

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值及取最小值时的 $x$ 的集合.

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19. 如图所示的几何体中， $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 为三棱柱，且 $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A A_{1} = A C$ ，四边形ABCD为平行四边形， $A D = 2 C D$ ， $∠ A D C = 60 °$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $C D = 2$ ，求四棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} C D$ 的体积.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的焦距为2，且过点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的上顶点为 $B$ ，右焦点为 $F$ ，直线 $l$ 与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点，问是否存在直线 $l$ ，使得 $F$ 为 $Δ B M N$ 的垂心，若存在，求出直线 $l$ 的方程：若不存在，说明理由.

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21. 现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表：

月收入(单位百元)	[15，25)	[25，35)	[35，45)	[45，55)	[55，65)	[65，75)
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	4	8	12	5	2	1

(Ⅰ)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异；

	月收入低于55百元的人数	月收入不低于55百元的人数	合计
赞成
不赞成
合计

(Ⅱ)若采用分层抽样在月收入在[15，25)，[25，35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15，25)的概率.

参考公式：K² $= \frac{n {(a d - b d)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d.

参考数据：

P(K²≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} (a x^{2} + x + a^{2})$ 在 $x = - 1$ 处取得极小值.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在极大值与极小值，且函数 $g (x) = f (x) - 2 x - m$ 有两个零点，求实数 $m$ 的取值范围.（参考数据： $e \approx 2.718$ ， $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）

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