山东省2020届高三数学高考模拟试卷

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 2}$ ， $B = {x | a x = 1}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则由实数 $a$ 的所有可能的取值组成的集合为（）

A、 ${1, \frac{1}{2}}$ B、 ${- 1, \frac{1}{2}}$ C、 ${0, 1, \frac{1}{2}}$ D、 ${- 1, 0, \frac{1}{2}}$

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2. 若 $i z = 1 + i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 函数 $f (x) = (2^{x} + 2^{- x}) \ln | x |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 《九章算术 $\cdot$ 衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱 $560$ ,乙持钱 $350$ ,丙持钱 $180$ ,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计 $100$ 钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（）

A、甲付的税钱最多 B、乙、丙两人付的税钱超过甲 C、乙应出的税钱约为 $32$ D、丙付的税钱最少

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5. 若 $\sin (75^{°} + α) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\cos (30^{°} - 2 α) =$ （　　）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $- \frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $- \frac{5}{9}$

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6. 甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 若 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $2^{a} = 3$ ， $b = \log_{2} 5$ ， $3^{c} = 2$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 与双曲线在第一象限内的交点为M，若 $| M F_{1} | = 3 | M F_{2} |$ ．则该双曲线的离心率为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、多选题

9. 下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

	空调类	冰箱类	小家电类	其它类
营业收入占比	90.10%	4.98%	3.82%	1.10%
净利润占比	95.80%	﹣0.48%	3.82%	0.86%

则下列判断中正确的是（）

A、该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 B、该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C、该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D、剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sin x ， & x \leq \frac{π}{4} \\ \cos x ， & x > \frac{π}{4} \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 不是周期函数 B、 $f (x)$ 奇函数 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $x = \frac{5 π}{2}$ 处取得最大值

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11. 设A，B是抛物线 $y = x^{2}$ 上的两点， $O$ 是坐标原点，下列结论成立的是（）

A、若 $O A ⊥ O B$ ，则 $| O A | | O B | \geq 2$ B、若 $O A ⊥ O B$ ，直线AB过定点 $(1, 0)$ C、若 $O A ⊥ O B$ ， $O$ 到直线AB的距离不大于1 D、若直线AB过抛物线的焦点F，且 $| A F | = \frac{1}{3}$ ，则 $| B F | = 1$

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12. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $M$ 为 $B C$ 的中点，将 $△ A B M$ 沿直线 $A M$ 翻折成 $△ A B_{1} M$ ，连结 $B_{1} D$ ， $N$ 为 $B_{1} D$ 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）

A、存在某个位置，使得 $C N ⊥ A B$ B、翻折过程中， $C N$ 的长是定值 C、若 $A B = B M$ ，则 $A M ⊥ B_{1} D$ D、若 $A B = B M = 1$ ，当三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的体积最大时，三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的外接球的表面积是 $4 π$

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三、填空题

13. 已知两个单位向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $30^{\circ}$ ， $\overset{⇀}{c} = m \overset{⇀}{a} + (1 - m) \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{c} = 0$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线经过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{6})$ ，则该双曲线的离心率为.

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15. 若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x}, x \leq a \\ x^{2}, x > a \end{array}$ ，若 $a = 1$ ，则不等式 $f (x) \leq 2$ 的解集为，若存在实数 $b$ ，使函数 $g (x) = f (x) - b$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ， $3 c^{2} = 16 S + 3 (b^{2} - a^{2})$ .

(1)、求 $\tan B$ 的值；

(2)、若 $S = 42$ ， $a = 10$ ，求 $b$ 的值．

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18. 已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A B = B C = C D = \frac{1}{2} A D$ ， $G$ 是 $P B$ 的中点， $Δ P A D$ 是等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $G A C$ ；

(2)、求二面角 $P - A G - C$ 的余弦值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - a_{1}$ （ $n \in N^{*}$ ），数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 6$ ， $b_{n} = S_{n} + \frac{1}{a_{n}} + 4$ （ $n \in N^{*}$ ）．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 通项公式；

（Ⅱ）记数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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20. 某销售公司在当地 $A$ 、 $B$ 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了 $A$ 、 $B$ 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：

销售件数

8

9

10

11

频数

20

40

20

20

以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记 $X$ 表示这两家超市每日共销售食品件数， $n$ 表示销售公司每日共需购进食品的件数.

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、以销售食品利润的期望为决策依据，在 $n = 19$ 与 $n = 20$ 之中选其一，应选哪个？

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆 $C$ 截直线 $y = 1$ 所得的线段的长度为 $2 \sqrt{2}$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $D$ 是椭圆 $C$ 上的点， $O$ 是坐标原点，若 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{O D}$ ，判定四边形 $O A D B$ 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 2 \ln x (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，当 $a \geq 2 \sqrt{e} + \frac{2}{\sqrt{e}}$ 时，求 $f (x_{2}) - f (x_{1})$ 的最大值.

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销售件数	8	9	10	11
频数	20	40	20	20