内蒙古阿拉善盟2020届高三上学期第理数一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $m, n \in R$ ，集合 $A = {2, \lg m}$ ， $B = {m, 2^{n}}$ ，若 $A \cap B = {1}$ ，则 $m + n =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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2. 已知复数 $Z = \frac{3 - 4 i}{1 - 2 i}$ ，则复数 $Z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）

A、 $\frac{5}{4}$ 钱 B、 $\frac{4}{3}$ 钱 C、 $\frac{3}{2}$ 钱 D、 $\frac{5}{3}$ 钱

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4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为 $\frac{8}{3}$ ，则该几何体的俯视图可以是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x + y \geq 5 \\ x \leq 2 y \\ x \geq 1 \end{matrix}$ 则 $z = x + 2 y$ 的最小值是（）

A、 $9$ B、 $\frac{20}{3}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $2$

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6. 将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（）种

A、12 B、36 C、72 D、108

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7. 数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是 $($ $)$

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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8. 执行如图的程序框图，则输出的 $n =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，以 $A$ 为圆心， $b$ 为半径作圆 $A$ ，圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $∠ M N A = 30 °$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $3$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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10. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， $A B = 4$ ， $A A_{1} = 6$ .若 $E$ ， $F$ 分别是棱 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 上的点，且 $B E = B_{1} E$ ， $C_{1} F = \frac{1}{3} C C_{1}$ ，则异面直线 $A_{1} E$ 与 $A F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{10}$

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11. 若曲线 $f (x) = \ln x - (a + 1) x$ 存在与直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 垂直的切线，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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12. 已知 $△ A B C$ 是腰长为4的等腰直角三角形， $A B = A C$ ， $P$ 为平面 $A B C$ 内一点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值为（）

A、 $- 4$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、0 D、 $- 2$

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二、填空题

13. 在某项测量中，测量结果 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $ξ$ 在 $(0, 1)$ 内取值的概率 $0.4$ ，则 $ξ$ 在 $(0, 2)$ 内取值的概率为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等比数列， $a_{1} + a_{4} = 9, a_{2} a_{3} = 8$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和等于.

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15. 已知向量 $\overset{⇀}{m} = (\sqrt{3} \sin \frac{x}{4}, 1), \overset{⇀}{n} = (\cos \frac{x}{4}, \cos^{2} \frac{x}{4})$ 若 $\overset{⇀}{m} ⊥ \overset{⇀}{n}$ ，则 $\cos (x + \frac{π}{3})$ 的值为．

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16. 函数 $y = \log_{a} (x + 3) - 1, (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点A，若点A在直线 $m x + n y + 1 = 0$ 上（其中m，n＞0），则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值等于.

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三、解答题

17. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $C = \frac{π}{4} ， \overset{⇀}{C A} \cdot \overset{⇀}{C B} = 48$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上，且 $A D = 5 \sqrt{2} ， \cos ∠ A D B = \frac{3}{5}$ .

（Ⅰ）求 $A C ， C D$ 的长；

（Ⅱ）求 $\cos ∠ B A D$ 的值.

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18. 近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次.

(1)、根据已知条件完成下面的

2 \times 2

列联表，并回答能否有

99 %

的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?

	对服务满意	对服务不满意	合计
对商品满意	80
对商品不满意		10
合计			200

(2)、若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量

X

，求

X

的分布列和数学期望

E X

临界值表：

$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.897	10.828

$K^{2}$ 的观测值： $k = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ ）.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A D = 2$ ，点 $M ， N$ 分别在棱 $P D ， P C$ 上，且 $P C ⊥$ 平面 $A M N$ .

(1)、求证： $A M ⊥ P D$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A M N$ 所成角的正弦值.

(3)、求二面角 $C - A M - N$ 的余弦值

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20. 已知函数 $f (x) = x \ln x + a x + b$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线为 $3 x - y - 2 = 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $k \in Z$ ，且存在 $x > 0$ ，使得 $k > \frac{f (x + 1)}{x}$ 成立，求 $k$ 的最小值.

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，以原点 $O$ 为圆心，椭圆 $C$ 的长半轴长为半径的圆与直线 $2 x - \sqrt{2} y + 6 = 0$ 相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $A$ ， $B$ 为动直线 $y = k (x - 2) (k \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 的两个交点，问：在 $x$ 轴上是否存在定点 $E$ ，使得 ${\vec{E A}}^{2} + \vec{E A} \cdot \vec{A B}$ 为定值？若存在，试求出点 $E$ 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 $x O y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 6 ρ \cos θ + 5 = 0$ ，圆 $C$ 与直线 $l$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $P$ 点的直角坐标为 $(1, 1)$ ．
（Ⅰ）将直线 $l$ 的参数方程化为普通方程，圆 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求 $| P A | + | P B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + a x + 4$ ， $g (x) = | x + 1 | + | x - 1 |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq g (x)$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \geq g (x)$ 的解集包含[–1，1]，求 $a$ 的取值范围．

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