辽宁省丹东市2020届高三文数总复习阶段测试试卷

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $\frac{2 i}{1 + i}$ 等于（）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $1 - i$

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2. 已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=（）

A、（–1，1） B、（1，2） C、（–1，+∞） D、（1，+∞）

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3. $\sin 75 ° \cos 75 ° =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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4. 从2名男同学，2名女同学共4人中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中恰好有1名男同学的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. $Δ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A B} - \vec{A C} = 2 \vec{A D}$ B、 $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A D}$ C、 $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{D B} + \vec{D C}$ D、 $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{D B} - \vec{D C} = \vec{B C}$

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6. 函数 $f (x) = 3^{x} - 3^{- x}$ 是（）

A、奇函数，且在 $R$ 上是增函数 B、奇函数，且在 $R$ 上是减函数 C、偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 D、偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数

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7. 已知两个平面 $α$ ， $β$ 相互垂直， $l$ 是它们的交线，则下面结论正确的是（）

A、垂直于平面 $β$ 的平面一定平行于平面 $α$ B、垂直于直线 $l$ 的平面一定平行于平面 $α$ C、垂直于平面 $β$ 的平面一定平行于直线 $l$ D、垂直于直线 $l$ 的平面一定与平面 $α$ ， $β$ 都垂直

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8. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ，那么 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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9. 函数 $f (x) ＝ (c o s x - 1) s i n x$ 在 $[﹣ π ， π]$ 的图象大致为（　　）

A、 B、 C、 D、

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10. “ $x \in (1, + \infty)$ ”是“ $x$ 属于函数 $f (x) = \ln (x^{2} - 2 x - 8)$ 单调递增区间”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件

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11. 已知当 $x = α$ 时，函数 $f (x) = \sin x - 2 \cos x$ 取得最小值，则 $\cos α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1, x \leq 0 \\ \log_{2} x, x > 0 \end{array}$ ，则 $y = f [f (x)] + 1$ 的零点个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

13. 已知 $α$ 是第三象限的角，若 $\cos α = - \frac{4}{5}$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{4}) =$ .

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14. 已知 $f (x)$ 为偶函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = \ln (- x) + 3 x$ ，则 $f' (1) =$ .

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15. $Δ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $B C = 2 A B$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则 $A B =$ .

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16. 边长为2的等边三角形 $A B C$ 的三个顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在以 $O$ 为球心的球面上，若球 $O$ 的表面积为 $\frac{88 π}{3}$ ，则三棱锥 $O - A B C$ 的体积为.

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三、解答题

17. 如图， $M$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{C D}$ 上异于 $C$ ， $D$ 的点，四边形 $A B C D$ 是矩形， $P$ 为 $A M$ 中点.

(1)、证明： $M C / /$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若矩形 $A B C D$ 所在平面与半圆弧 $\overset{⌢}{C D}$ 所在平面垂直，证明：平面 $A M D ⊥$ 平面 $B M C$ .

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18. 某种产品的质量用其质量指标值来衡量)质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 $A$ 配方和 $B$ 配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:
$A$ 配方的频数分布表:

指标值分组

[90,94）

[94,98）

[98,102）

[102,106）

[106,110]

频数

8

20

42

22

8

$B$ 配方的频数分布表:

指标值分组

[90,94）

[94,98）

[98,102）

[102,106]

[106,110]

频数

4

12

42

32

10

(1)、分别估计用 $A$ 配方、 $B$ 配方生产的产品的优质品率;

(2)、已知用 $B$ 配方生产的一件产品的利润(单位:元)与其质量指标值 $t$ 的关系为 $y = {\begin{matrix} - 2, t < 94 \\ 2, 94 \leq t < 102 \\ 4, t \geq 102 \end{matrix}$ ,估计用 $B$ 配方生产的一件产品的利润大于 $0$ 的概率,并求用 $B$ 配方生产的上述 $100$ 件产品的平均利润.

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19. $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a \sin B = \sqrt{3} b \cos A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = 3$ ， $∠ B A C$ 平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，求 $A D$ 的长.

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20. 已知 $f (x)$ 是定义域为R的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ．

(1)、证明： $f (4 + x) = f (x)$ ；

(2)、若 $f (1) = 2$ ，求式子 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (50)$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} - a x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线经过点 $(2, - 1)$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、证明: $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 单调递增，在 $(1, + \infty)$ 单调递减；

(3)、设 $b > 1$ ，求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{b}, b]$ 上的最大值和最小值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{3}$ .

(1)、求 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、将曲线 $x^{2} + y^{2} = 13$ 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，得到曲线 $C_{3}$ ，若 $C_{2}$ 与 $C_{1}$ 的交点为 $A$ （异于坐标原点 $O$ ）， $C_{2}$ 与 $C_{3}$ 的交点为 $B$ ，求 $| A B |$ .

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23. 设函数 $f (x) = | x + a^{2} + 3 | + | x - 2 a |$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求不等式 $f (x) > 3$ 的解集；

(2)、证明： $f (x) \geq 2$ ，并指出等号的成立条件．

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指标值分组	[90,94）	[94,98）	[98,102）	[102,106）	[106,110]
频数	8	20	42	22	8