江西省名师联盟2020届高三理数入学调研考试试卷

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} + x - 2 \leq 0}$ ， $N = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $M \cap N$ 的子集个数为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $8$ D、 $16$

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2. 已知复数 $z = 2 + i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{1 + i}$ 在复平面上对应的点所在象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在等差数列{a_n}中，若a₃＝5，S₄＝24，则a₉＝（）

A、﹣5 B、﹣7 C、﹣9 D、﹣11

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4. 下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）

A、 $f (x) = x^{3} + x$ B、 $f (x) = 3^{x} - 1$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = \log_{3} | x |$

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5. 中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 设 $α, β$ 是两平面， $a, b$ 是两直线.下列说法正确的是（）
①若 $a // b$ ， $a // c$ ，则 $b // c$

②若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a // b$

③若 $a ⊥ α$ ， $a ⊥ β$ ，则 $α // β$

④若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = b$ ， $a \subset α$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $a ⊥ β$

A、①③ B、②③④ C、①②④ D、①②③④

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7. 下图是一程序框图，若输入的 $A = \frac{1}{2}$ ，则输出的值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{12}{29}$ D、 $\frac{29}{60}$

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8. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象如图所示，为了得到 $y = f (x)$ 的图象，只需把 $g (x) = \frac{1}{2} \sin ω x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos ω x$ 的图象上所有点（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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9. ${(1 + 2 x - \frac{y}{2})}^{8}$ 的展开式中x²y²项的系数是（　　）

A、420 B、﹣420 C、1680 D、﹣1680

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10. 太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗 $\dots \dots$ ，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为 $A = {(x ， y) | x^{2} + {(y - 1)}^{2} \leq 1 或 {\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} \leq 4 \\ x^{2} + {(y + 1)}^{2} \geq 1 \\ x \leq 0 \end{array}}$ ，设点 $(x ， y) \in A$ ，则 $z = x + 2 y$ 的取值范围是 $($ $)$

A、 $[- 2 - \sqrt{5}$ ， $2 \sqrt{5}]$ B、 $[- 2 \sqrt{5}$ ， $2 \sqrt{5}]$ C、 $[- 2 \sqrt{5}$ ， $2 + \sqrt{5}]$ D、 $[- 4$ ， $2 + \sqrt{5}]$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0 ， b > 0$ ）的右焦点为 $F ， A ， B$ 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点， $\overset{⇀}{A F} \cdot \overset{⇀}{B F} = 0$ 且线段 $A F$ 的中点 $M$ 落在另一条渐近线上，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知函数 $f (x) = (e - a) e^{x} - m a + x$ ，（ $m ， a$ 为实数），若存在实数 $a$ ，使得 $f (x) \leq 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $[- e ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{e} ， e]$ D、 $[- e ， - \frac{1}{e}]$

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二、填空题

13. 平面内不共线的三点 $O, A, B$ ，满足 $| \vec{O A} | = 1$ ， $| \vec{O B} | = 2$ ，点 $C$ 为线段 $A B$ 的中点，若 $| \vec{O C} | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $∠ A O B =$ .

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} + 2 a_{n} + 3 = 0$ ， $n \in N^{*}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{6} =$ .

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15. 已知直线 $l$ 经过抛物线 $C ： y = \frac{x^{2}}{4}$ 的焦点 $F$ ，与抛物线交于 $A$ 、 $B$ ，且 $x_{A} + x_{B} = 8$ ，点 $D$ 是弧 $A O B$ （ $O$ 为原点）上一动点，以 $D$ 为圆心的圆与直线 $l$ 相切，当圆 $D$ 的面积最大时，圆 $D$ 的标准方程为．

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16. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线 $A C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值等于.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $\tan B = \frac{1}{2}$ ， $\tan (C - A) = 2$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、当 $a = 2 \sqrt{2}$ 时，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都是2， $D ， E$ 分别是 $A C ， C C_{1}$ 的中点.

(1)、求证：平面 $A E B ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求二面角 $D - B E - A_{1}$ 的余弦值.

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19. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，圆 $O : x^{2} + y^{2} = c^{2}$ （ $| F_{1} F_{2} | = 2 c$ ）与椭圆有且仅有两个交点，点 $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ 在椭圆上.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过 $y$ 正半轴上一点 $P$ 的直线 $l$ 与圆 $O$ 相切，与椭圆 $C$ 交于点 $A, B$ ，若 $\vec{P A} = \vec{A B}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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20. 随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：

个人所得税税率表（调整前）			个人所得税税率表（调整后）
免征额3500元			免征额5000元
级数	全月应纳税所得额	税率（%）	级数	全月应纳税所得额	税率（%）
1	不超过1500元部分	3	1	不超过3000元部分	3
2	超过1500元至4500元的部分	10	2	超过3000元至12000元的部分	10
3	超过4500元至9000元的部分	20	3	超过12000元至25000元的部分	20
…	…	…	…	…	…

某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：

收入（元）	$[3000, 5000)$	$[5000, 7000)$	$[7000, 9000)$	$[9000, 11000)$	$[11000, 13000)$	$[13000, 15000)$
人数	30	40	10	8	7	5

(1)、若某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少?

(2)、现从收入在

[3000, 5000)

及

[5000, 7000)

的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用

x

表示抽到作为宣讲员的收入在

[3000, 5000)

元的人数，

y

表示抽到作为宣讲员的收入在

[5000, 7000)

元的人数，设随机变量

X = | x - y |

，求

X

的分布列与数学期望.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a \ln x - 1$ ，（ $a \in R$ ）.
（Ⅰ）若函数 $f (x)$ 有且只有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）设 $g (x) = e^{x} + x^{2} - e x - f (x) - 1$ ，若 $g (x) \geq 0$ ，若函数对 $x \in [1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.（ $e$ 是自然对数的底数， $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ）

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = \frac{8 k}{1 + k^{2}} \\ y = \frac{3 (1 - k^{2})}{1 + k^{2}} \end{array}$ （k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ .
（Ⅰ）曲线C的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C上的点到直线 $l$ 的距离的取值范围.

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | 2 x - a |$ ， $x \in R$ ．

(1)、当 $a = 4$ 时，求不等式 $f (x) > 9$ 的解集；

(2)、对任意 $x \in R$ ，恒有 $f (x) \geq 5 - a$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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