江西名师联盟2020届高三上学期理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 5}$ ， $B = {1, 3, 6}$ ， $M = {6}$ ，则 $M =$ （）

A、 $A \cap B$ B、 $A \cup B$ C、 $(∁_{R} A) \cap B$ D、 $A \cap (∁_{R} B)$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(z - 1) (i - 1) = i$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $- \frac{4 + 3 i}{2}$ B、 $\frac{4 - 3 i}{2}$ C、 $- \frac{3 + 4 i}{2}$ D、 $\frac{3 - 4 i}{2}$

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3. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和, $a_{3} = 3$ , $S_{7} = 14$ ,则公差 $d =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、-1

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4. 已知 $a = 25^{\frac{1}{5}}, b = 6^{\frac{2}{5}}, c = 2^{\frac{6}{5}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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5. 函数 $f (x) = \frac{{log}_{2} (x^{2} - 1)}{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \leq 6 \\ x + y \geq 3 \\ y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = \frac{y}{x}$ 的最大值是（）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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7. 在 $Δ A B C$ 中， $\vec{B D} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，则 $\vec{C E} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{5}{6} \vec{A C}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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8. 若存在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，使 $2 \sqrt{3} \cos^{2} x + \sin (2 x - \frac{π}{3}) + m < 0$ 成立，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1 - \sqrt{3})$ C、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(- 1 - \sqrt{3}, + \infty)$

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9. 在直角坐标系 $x O y$ 中， $F$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点， $A ， B$ 分别为左、右顶点，过点 $F$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，连接 $P B$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，连接 $A E$ 交 $P Q$ 于点 $M$ ，若 $M$ 是线段 $P F$ 的中点，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）

A、 $\frac{11 \sqrt{22} π}{3}$ B、 $\frac{44 \sqrt{11} π}{3}$ C、 $44 \sqrt{11} π$ D、 $11 \sqrt{22} π$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的离心率为2，F₁ ， F₂分别是双曲线的左、右焦点，点M（-a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当 $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P F_{2}}$ 取得最小值和最大值时，△PF₁F₂的面积分别为S₁ ， S₂ ，则 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ =（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、4 C、4 $\sqrt{3}$ D、8

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12. 设函数 $f (x)$ 在定义域 $(0, + \infty)$ 上是单调函数，且 $\forall x \in (0, + \infty), f [f (x) - e^{x} + x] = e$ ，若不等式 $f (x) + f' (x) \geq a x$ 对 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, e - 2]$ B、 $(- \infty, e - 1]$ C、 $(- \infty, 2 e - 3]$ D、 $(- \infty, 2 e - 1]$

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二、填空题

13. 若 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{π} + \cos x$ ，则 $f (\frac{4 π}{3}) =$ .

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14. 已知 ${(x^{2} - 1)}^{2} {(x + 1)}^{96} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{100} {(x + 1)}^{100}$ ，则 $2 a_{1} + 2^{2} a_{2} + \dots + 2^{100} a_{100} =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = \ln (| x | + 1) + a \cos x + 2$ 只有一个零点，则 $a =$ .

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16. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $Δ P A D$ 为等边三角形，若四棱锥 $P - A B C D$ 的体积与四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的表面积大小之比为 $\frac{\sqrt{3}}{7 π}$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的表面积为.

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三、解答题

17. $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $6 a \sin B \cos^{2} \frac{A}{2} = b \sin A$ .

(1)、求 $\cos A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{21}, b + c = 5$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为 $200$ 元，低于 $100$ 箱按原价销售，不低于 $100$ 箱则有以下两种优惠方案：①以 $100$ 箱为基准，每多 $50$ 箱送 $5$ 箱；②通过双方议价，买方能以优惠 $8 %$ 成交的概率为 $0.6$ ，以优惠 $6 %$ 成交的概率为 $0.4$ .

(1)、甲、乙两单位都要在该厂购买 $150$ 箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；

(2)、某单位需要这种零件 $650$ 箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？

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19. 如图所示，在四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥ A B$ ，平面 $A B D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = B C = \frac{\sqrt{2}}{2} A C$ ，且 $A D + B C = 4$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、设 $E$ 为棱 $A C$ 的中点，当四面体 $A B C D$ 的体积取得最大值时，求二面角 $C - B D - E$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(\sqrt{3}, - \frac{1}{2})$ ，且它的焦距是短轴长的 $\sqrt{3}$ 倍.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、若 $A$ ， $B$ 是椭圆 $C$ 上的两个动点（ $A$ ， $B$ 两点不关于 $x$ 轴对称）， $O$ 为坐标原点， $O A$ ， $O B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，问是否存在非零常数 $λ$ ，使当 $k_{1} k_{2} = λ$ 时， $Δ A O B$ 的面积 $S$ 为定值？若存在，求 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + a}{e^{x}}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、设 $g (x) = x e^{- x} - a$ ，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 都有 $x_{1} e^{x_{1}} f (x_{1}) - a x_{1} > g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 4 t + a^{2} \\ y = 3 t - 1 \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + | a | \cos θ \\ y = - 2 a^{2} + \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）.

(1)、求 $l$ 和 $C$ 的普通方程；

(2)、将 $l$ 向左平移 $m (m > 0)$ 后，得到直线 $l^{'}$ ，若圆 $C$ 上只有一个点到 $l^{'}$ 的距离为1，求 $m$ .

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23. 设函数 $f (x) = | x - a | + | x - 4 | (a \neq 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < x$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq \frac{4}{a} - 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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