江苏省盐城市、南京市2020届高三数学第一次模拟试卷

试卷更新日期：2020-04-03 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = (0, + \infty)$ ，全集 $U = R$ ，则 $∁_{U} A =$ .

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2. 设复数 $z = 2 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z \cdot \bar{z} =$ .

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3. 学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为.

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4. 命题“ $\forall θ \in R, \cos θ + \sin θ > 1$ ”的否定是命题.（填“真”或“假”）

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5. 运行如图所示的伪代码，则输出的 $I$ 的值为.

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6. 已知样本7，8，9， $x, y$ 的平均数是9，且 $x y = 110$ ，则此样本的方差是.

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的点 $P$ 到其焦点的距离为3，则点 $P$ 到点 $O$ 的距离为.

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8. 若数列 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $\ln a_{1}$ 、 $\ln a_{2}$ 、 $\ln a_{5}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ 的值为.

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9. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $P$ 是棱 $C C_{1}$ 上一点，记三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 与四棱锥 $P - A B B_{1} A_{1}$ 的体积分别为 $V_{1}$ 与 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{2}}{V_{1}} =$ .

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10. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象与 $y$ 轴交点的纵坐标为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $y$ 轴右侧第一个最低点的横坐标为 $\frac{π}{6}$ ，则 $ω$ 的值为.

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11. 已知 $H$ 是 $△ A B C$ 的垂心（三角形三条高所在直线的交点）， $\vec{A H} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ ，则 $\cos ∠ B A C$ 的值为.

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12. 若无穷数列 ${\cos (ω n)} (ω \in R)$ 是等差数列，则其前10项的和为.

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13. 已知集合 $P = {(x ， y) | x | x | + y | y | = 16}$ ，集合 $Q = {(x ， y) | k x + b_{1} \leq y \leq k x + b_{2}}$ ，若 $P \subseteq Q$ ，则 $\frac{| b_{1} - b_{2} |}{\sqrt{k^{2} + 1}}$ 的最小值为.

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14. 若对任意实数 $x \in (- \infty ， 1]$ ，都有 $| \frac{e^{x}}{x^{2} - 2 a x + 1} | \leq 1$ 成立，则实数 $a$ 的值为.

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二、解答题

15. 已知 $△ A B C$ 满足 $\sin (B + \frac{π}{6}) = 2 \cos B$ .

(1)、若 $\cos C = \frac{\sqrt{6}}{3}, A C = 3$ ，求 $A B$ ；

(2)、若 $A \in (0, \frac{π}{3})$ ，且 $\cos (B - A) = \frac{4}{5}$ ，求 $\sin A$ .

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16. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知底面 $A B C D$ 是正方形，点 $P$ 是侧棱 $C C_{1}$ 上的一点.

(1)、若 $A C_{1} / /$ 平面 $P B D$ ，求 $\frac{P C_{1}}{P C}$ 的值；

(2)、求证： $B D ⊥ A_{1} P$ .

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17. 如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从 $⊙ O$ 中剪裁出两块全等的圆形铁皮 $⊙ P$ 与 $⊙ Q$ 做圆柱的底面，剪裁出一个矩形 $A B C D$ 做圆柱的侧面（接缝忽略不计）， $A B$ 为圆柱的一条母线，点 $A ， B$ 在 $⊙ O$ 上，点 $P ， Q$ 在 $⊙ O$ 的一条直径上， $A B / / P Q$ ， $⊙ P ， ⊙ Q$ 分别与直线 $B C$ 、 $A D$ 相切，都与 $⊙ O$ 内切.

(1)、求圆形铁皮 $⊙ P$ 半径的取值范围；

(2)、请确定圆形铁皮 $⊙ P$ 与 $⊙ Q$ 半径的值，使得油桶的体积最大.（不取近似值）

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18. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率是 $e$ ，动点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在椭圆 $C$ 上运动，当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时， $x_{0} = 1 ， y_{0} = e$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、延长 $P F_{1} ， P F_{2}$ 分别交椭圆于点 $A ， B$ （ $A ， B$ 不重合）.设 ${\vec{A F}}_{1} = λ \vec{F_{1} P} ， \vec{B F_{2}} = μ \vec{F_{2} P}$ ，求 $λ + μ$ 的最小值.

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19. 定义：若无穷数列 ${a_{n}}$ 满足 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则称数列 ${a_{n}}$ 为“ $M (q)$ 数列”.设数列 ${b_{n}}$ 中 $b_{1} = 1 ， b_{3} = 7$

(1)、若 $b_{2} = 4$ ，且数列 ${b_{n}}$ 是“ $M (q)$ 数列”，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{n + 1} = 2 S_{n} - \frac{1}{2} n + λ$ ，请判断数列 ${b_{n}}$ 是否为“ $M (q)$ 数列”，并说明理由；

(3)、若数列 ${b_{n}}$ 是“ $M (2)$ 数列”，是否存在正整数 $m ， n$ ，使得 $\frac{4039}{2019} < \frac{b_{m}}{b_{n}} < \frac{4040}{2019}$ ？若存在，请求出所有满足条件的正整数 $m ， n$ ；若不存在，请说明理由.

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20. 若函数 $f (x) = e^{x} - a e^{- x} - m x (m \in R)$ 为奇函数，且 $x = x_{0}$ 时 $f (x)$ 有极小值 $f (x_{0})$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x_{0}) \geq - \frac{2}{e}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知圆 $C$ 经矩阵 $M = [\begin{matrix} a & 3 \\ 3 & - 2 \end{matrix}]$ 变换后得到圆 $C^{'} ： x^{2} + y^{2} = 13$ ，求实数 $a$ 的值.

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22. 在极坐标系中，直线 $ρ \cos θ + 2 ρ \sin θ = m$ 被曲线 $ρ = 4 \sin θ$ 截得的弦为 $A B$ ，当 $A B$ 是最长弦时，求实数 $m$ 的值.

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23. 已知正实数 $a, b, c$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1$ ，求 $a + 2 b + 3 c$ 的最小值.

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24. 如图， $A A_{1} ， B B_{1}$ 是圆柱的两条母线， $A_{1} B_{1} ， A B$ 分别经过上下底面的圆心 $O_{1} ， O ， C D$ 是下底面与 $A B$ 垂直的直径， $C D = 2$ .

(1)、若 $A A_{1} = 3$ ，求异面直线 $A_{1} C$ 与 $B_{1} D$ 所成角的余弦值；

(2)、若二面角 $A_{1} - C D - B_{1}$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求母线 $A A_{1}$ 的长.

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25. 设 $\sum_{i = 1}^{2 n} {(1 - 2 x)}^{i} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2 n} x^{2 n} (n \in N^{*})$ ，记 $S_{n} = a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2 n}$ .

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、记 $T_{n} = - S_{1} C_{n}^{1} + S_{2} C_{n}^{2} - S_{3} C_{n}^{3} + \dots + {(- 1)}^{n} S_{n} C_{n}^{n}$ ，求证： $| T_{n} | \geq 6 n^{3}$ 恒成立.

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