江苏省南京市秦淮区2020届高三数学第一次模拟考试适应性测试试卷

试卷更新日期：2020-04-02 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，若集合 $A = {3, 4, 5}$ ，则 $C_{U} A =$ .

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2. 已知复数 $z = \frac{2}{1 + i} + 2 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z$ 的共轭复数为．

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3. 函数f（x） $= \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域为．

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4. 根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为．

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5. 某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的 $\frac{1}{3}$ ，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是．

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6. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ ，则双曲线的离心率为．

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7. 已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 $2 c m$ ，则该棱锥的体积为 $c m^{3}$ .

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8. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 3 x + 2 ， x \leq 0 \\ \frac{1}{2^{x}} ， x > 0 \end{array}$ ，则f（f（0））＝．

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9. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为 $\sqrt{13}$ ，圆心在y轴上，且圆C与直线2x+3y﹣10＝0相切于点P（2，2），则圆C的标准方程是．

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10. 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点， $A D = \frac{1}{2} A B ， B E = \frac{2}{3} B C$ ，若 $\vec{D E} = λ_{1} \vec{C B} + λ_{2} \vec{C A}$ （λ₁ ， λ₂为实数），则λ₁+λ₂＝．

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11. 已知e为自然对数的底数．若不等式（e^x^﹣¹﹣1）（x﹣a）≥0恒成立，则实数a的值是．

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12. 在等差数列{a_n}中，已知公差d≠0，a₂²＝a₁a₄ ，若 $a_{1} ， a_{3} ， a_{k_{1}} ， a_{k_{2}} ， \dots ， a_{k_{n}}$ ，…成等比数列，则k_n＝．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，直线l是曲线M：y＝sinx（x∈[0，π]）在点A处的一条切线，且l∥OP，其中P为曲线M的最高点，l与x轴交于点B，过A作x轴的垂线，垂足为C，则 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} =$ ．

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14. 在锐角三角形ABC中，已知4sin²A+sin²B＝4sin²C，则 $\frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n B} + \frac{1}{t a n C}$ 的最小值为．

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二、解答题

15. 如图，在△ABC中，已知B $= \frac{π}{4}$ ，AB＝3，AD为边BC上的中线，设∠BAD＝α，若cosα $= \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求AD的长；

(2)、求sinC的值．

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16. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD，BD＝CD，E，F分别为BC，PD的中点．

(1)、求证：EF∥平面PAB；

(2)、求证：平面PBC⊥平面EFD．

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17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右焦点F到右准线的距离为3．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x²+y²＝a²截得的弦长为 $\sqrt{14}$ ，求△OPQ的面积．

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18. 如图， $O M$ ， $O N$ 是某景区的两条道路（宽度忽略不计， $O M$ 为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路 $O M$ 上一游客休息区，已知 $\tan ∠ M O N = - 3$ ， $O A = 6$ （百米），Q到直线 $O M$ ， $O N$ 的距离分别为3（百米）， $\frac{6 \sqrt{10}}{5}$ （百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路 $O N$ 于点B，并在B处修建一游客休息区.

(1)、求有轨观光直路 $A B$ 的长；

(2)、已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时， $r = 2 \sqrt{a t}$ （百米）（ $0 \leq t \leq 9$ ， $0 < a < 1$ ）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道 $B A$ 以 $\sqrt{2}$ （百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.

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19. 在数列{a_n}中，a₁＝3，且对任意的正整数n，都有a_n+1＝λa_n+2×3ⁿ ，其中常数λ＞0．

(1)、设b_n $= \frac{a_{n}}{3^{n}} ， n \in N^{*}$ ．当λ＝3时，求数列{b_n}的通项公式；

(2)、若λ≠1且λ≠3，设c_n＝a_n $+ \frac{2}{λ - 3} \times 3^{n} ， n \in N^{*}$ ，证明：数列{c_n}为等比数列；

(3)、当λ＝4时，对任意的n∈N^* ，都有a_n≥M，求实数M的最大值．

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20. 已知函数g（x）＝e^x﹣ax²﹣ax，h（x）＝e^x﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．

(1)、若f（x）＝h（x）﹣g（x）．
①讨论f（x）的单调性；

②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

(2)、已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x₁ ， x₂ ，证明： $x_{1} + x_{2} < l n (4 a^{2})$ ．

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