河南省2020届高三普通高等学校招生理数模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-04-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = 2^{x}, x > 0}$ ， $B = {x | y = \log_{2} (x - 2)}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + \sqrt{3} i) z = 1 + i$ ，则复平面内与复数 $z$ 对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知函数 $f (x) = \sin^{4} x - \cos^{4} x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的最大值为2 C、 $f (x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减

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4. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝ $\frac{1}{2}$ AB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（　　）（参考数据： $\sqrt{5 \approx}$ 2.236）

A、0.236 B、0.382 C、0.472 D、0.618

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中，有 $a_{3} a_{11} = 4 a_{7}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{7} = a_{7}$ ，则 $S_{13} =$ （）

A、26 B、52 C、78 D、104

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6. 已知两条直线 $a, b$ 和平面 $α$ ，若 $b \subset α$ ，则 $a / / b$ 是 $a / / α$ 的（）

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x - 1}, x < 2, \\ \log_{3} (x^{2} - 1), x \geq 2, \end{array}$ 若 $f (a) \geq 1$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, 2)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [1, + \infty)$

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8. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y \geq 2 ， \\ y - x \leq 2 ， \\ x - 2 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $\frac{y}{x + 2}$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}] \cup [1 ， + \infty)$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $[\frac{1}{2} ， 1]$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）

A、 $n \leq 2012$ B、 $n \leq 2015$ C、 $n \leq 2017$ D、 $n \leq 2018$

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10. 已知 $Δ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 4$ ， $O$ 为 $Δ A B C$ 所在平面上一点，且满足 $O A = O B = O C$ .设 $\overset{⇀}{A O} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{11}{18}$ D、 $\frac{7}{11}$

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11. 已知 $P$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点，且在 $x$ 轴上方， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线的左、右焦点， $| F_{1} F_{2} | = 12$ ，直线 $P F_{2}$ 的斜率为 $- 4 \sqrt{3}$ ， $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $24 \sqrt{3}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 已知A，B，C为球O的球面上的三个定点， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A C = 2$ ，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为 $V_{1}$ ，三棱锥O一ABC的体积为 $V_{2}$ ，若 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的最大值为3，则球O的表面积为 $($ 　　 $)$

A、 $\frac{16 π}{9}$ B、 $\frac{64 π}{9}$ C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $6 π$

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二、填空题

13. 中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意,则选法有种．

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14. 已知正数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则当 $x =$ 时， $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 取得最小值，最小值为．

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty, + \infty)$ 的偶函数，且 $f (x - 1)$ 为奇函数，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 1 - x^{3}$ ，则 $f (\frac{29}{2}) =$ ．

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16. 已知点 $E$ 在 $y$ 轴上，点 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，直线 $E F$ 与抛物线交于 $M$ ， $N$ 两点，若点 $M$ 为线段 $E F$ 的中点，且 $| N F | = 12$ ，则 $p =$ ．

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，且内角 $A 、 B 、 C$ 依次成等差数列.

(1)、若 $\sin C = 3 \sin A$ ，求边 $A C$ 的长；

(2)、设 $D$ 为边 $A C$ 的中点，求线段 $B D$ 长的最小值.

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18. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 是等边三角形， $∠ B A D = ∠ B C D = 90 °$ ，点 $P$ 是 $A C$ 的中点，连接 $B P ， D P$ ．

(1)、证明：平面 $A C D ⊥$ 平面 $B D P$ ；

(2)、若 $B D = \sqrt{6}$ ，且二面角 $A - B D - C$ 为 $120 °$ ，求直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值．

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为2.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $k_{O M} \cdot k_{O N} = \frac{5}{4}$ ，
求证：点 $(m, k)$ 在定圆上.

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20. 已知函数 $f (x) = m e^{x} - \ln x - 1$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $m \in (1 ， + \infty)$ ，求证： $f (x) > 1$ .

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21. 2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，某位患者在隔离之前，每天有 $a$ 位密切接触者，其中被感染的人数为 $X (0 \leq X \leq a)$ ，假设每位密切接触者不再接触其他患者.

(1)、求一天内被感染人数为 $X$ 的概率 $P (X)$ 与 $a$ 、 $p$ 的关系式和 $X$ 的数学期望；

(2)、该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第 $n$ 天新增患者的数学期望记为 $E_{n} (n \geq 2)$ .
（i）求数列 ${E_{n}}$ 的通项公式，并证明数列 ${E_{n}}$ 为等比数列；

（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率 $p^{'} = \ln (1 + p) - \frac{2}{3} p$ ，当 $p^{'}$ 取最大值时，计算此时 $p^{'}$ 所对应的 $E_{6}^{'}$ 值和此时 $p$ 对应的 $E_{6}$ 值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取 $a = 10$ ）

（结果保留整数，参考数据： $\ln 5 \approx 1.6 ， \ln 3 \approx 1.1 ， \ln 2 \approx 0.7 ， \frac{1}{3} \approx 0.3 ， \frac{2}{3} \approx 0.7$ ）

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22. 在极坐标系中,直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{3}$ $(ρ \in R)$ ．以极点为原点,极轴为 $x$ 轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \sin α \\ y = 1 - \cos 2 α \end{array}$ ,（ $α$ 为参数）．

(1)、请写出直线 $l$ 的参数方程;

(2)、求直线 $l$ 与曲线 $C$ 交点 $P$ 的直角坐标．

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23. 回答下面问题

(1)、已知 $x, y \in R$ ,且 $| x + y | \leq \frac{1}{6}$ , $| x - y | \leq \frac{1}{4}$ ,求证： $| x + 5 y | \leq 1$ ．

(2)、已知实数 $a, b, c, d, e$ 满足 $a + b + c + d + e = 8$ , $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} = 16$ ,试确定 $e$ 的最大值．

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