河南省2020届高三文数3月联合检测试卷

试卷更新日期：2020-04-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1, 2, 3, 6}$ ， $B = {x | 2^{x} > 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${6}$ B、 ${3, 6}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${2, 3, 6}$

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2. 若等差数列的前两项分别为1，3，则该数列的前10项和为（）

A、81 B、90 C、100 D、121

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3. 设复数 $z = a + b i$ $(a, b \in R)$ ，定义 $z = b + a i$ .若 $\frac{z}{1 + i} = \frac{i}{2 - i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} - \frac{1}{5} i$

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4. 书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件 $M$ 表示“两本都是《红楼梦》”；事件 $N$ 表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件 $P$ 表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是（）

A、 $M$ 与 $P$ 是互斥事件 B、 $M$ 与 $N$ 是互斥事件 C、 $N$ 与 $P$ 是对立事件 D、 $M$ ， $N$ ， $P$ 两两互斥

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5. 若双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的一条渐近线方程为 $3 x + 2 y = 0$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6. 已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）

A、PA，PB，PC两两垂直 B、三棱锥P-ABC的体积为 $\frac{8}{3}$ C、 $| P A | = | P B | = | P C | = \sqrt{6}$ D、三棱锥P-ABC的侧面积为 $3 \sqrt{5}$

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7. 如图，在等腰直角 $Δ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别为斜边 $B C$ 的三等分点（ $D$ 靠近点 $B$ ），过 $E$ 作 $A D$ 的垂线，垂足为 $F$ ，则 $\overset{⇀}{A F} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{5} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{2}{5} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{5} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{4}{15} \overset{⇀}{A B} + \frac{8}{15} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{8}{15} \overset{⇀}{A B} + \frac{4}{15} \overset{⇀}{A C}$

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8. 函数 $f (x) = | x | - \frac{\ln | x |}{x^{2}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 设不等式组 ${\begin{array}{l} x + y \geq 0 \\ x - \sqrt{3} y \leq 0 \end{array}$ 表示的平面区域为 $Ω$ ，若从圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 的内部随机选取一点 $P$ ，则 $P$ 取自 $Ω$ 的概率为（）

A、 $\frac{5}{24}$ B、 $\frac{7}{24}$ C、 $\frac{11}{24}$ D、 $\frac{17}{24}$

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10. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥 $A - B C D$ 的每个顶点都在球 $O$ 的球面上， $A B ⊥$ 底面 $B C D$ ， $B C ⊥ C D$ ，且 $A B = C D = \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ，利用张衡的结论可得球 $O$ 的表面积为（）

A、30 B、 $10 \sqrt{10}$ C、33 D、 $12 \sqrt{10}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} + 3, x \leq 0 \\ 2^{x} + \log_{9} x^{2} - 9, x > 0 \end{array}$ ，则函数 $y = f (f (x))$ 的零点所在区间为（）

A、 $(3, \frac{7}{2})$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(\frac{7}{2}, 4)$ D、 $(4, 5)$

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12. 已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y²＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y²＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（）

A、λ＜﹣16 B、λ＝﹣16 C、﹣12＜λ＜0 D、λ＝﹣12

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = 9 x^{2} + \sqrt{x - 1}$ 的最小值为.

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14. 函数 $f (x) = | \sin 4 x |$ 的图象的对称轴方程为.

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15. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $B C_{1}$ ， $B D_{1}$ 与底面 $A B C D$ 所成角分别为 $α$ ， $β$ ，则 $\tan (α + β) =$ .

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16. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} \neq 0$ ，曲线 $y = x^{3}$ 在点 $(a_{n}, a_{n}^{3})$ 处的切线经过点 $(a_{n + 1}, 0)$ ，下列四个结论：① $a_{2} = \frac{2}{3}$ ；② $a_{3} = \frac{1}{3}$ ；③ $\sum_{i = 1}^{4} a_{i} = \frac{65}{27}$ ；④数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；其中所有正确结论的编号是.

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三、解答题

17. 为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共12道题），从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成 $[0 ， 2)$ ， $[2 ， 4)$ ， $[4 ， 6)$ ， $[6 ， 8)$ ， $[8 ， 10)$ ， $[10 ， 12]$ 六组，得到如下频率分布直方图.

(1)、若答对一题得10分，未答对不得分，估计这40人的成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、若从答对题数在 $[2 ， 6)$ 内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在 $[2 ， 4)$ 内的概率.

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18. a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3， $c \sin C = a \sin A + b \sin B$ ，且B＝60°.

(1)、求△ABC的面积；

(2)、若D，E是BC边上的三等分点，求 $\sin ∠ D A E$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A P ⊥$ 平面 $P C D$ ， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A P = A B = B C = \frac{1}{2} A D$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点， $A C$ 与 $B E$ 相交于点 $O$ .

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(2)、若 $O B = 1$ ，求点 $C$ 到平面 $P A B$ 的距离.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + \frac{4}{27}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(a - 1, a + 3)$ 上存在极大值，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $x$ 轴是曲线 $y = f (x)$ 的一条切线，证明：当 $x \geq - 1$ 时， $f (x) \geq x - \frac{23}{27}$ .

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1, \frac{3}{2})$ ，过坐标原点 $O$ 作两条互相垂直的射线与椭圆 $C$ 分别交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、证明：当 $a^{2} + 9 b^{2}$ 取得最小值时，椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(2)、若椭圆 $C$ 的焦距为2，是否存在定圆与直线 $M N$ 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + 2 \cos φ \\ y = 2 \sin φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点 $P$ 的直角坐标为 $(- 2, 0)$ ，过 $P$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、若 $l$ 的斜率为2，求 $l$ 的极坐标方程和曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、求 $\overset{⇀}{P M} \cdot \overset{⇀}{P N}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | 2 x + 1 |$ ，记不等式 $f (x) < 4$ 的解集为 $M$ .

(1)、求 $M$ ；

(2)、设 $a, b \in M$ ，证明： $| a b | - | a | - | b | + 1 > 0$ .

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