河南省安阳市2020届高三理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-04-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq 3 或 x \leq - 3}$ ， $B = {y | y = 2^{x}, x \geq 1}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${x | 2 \leq x < 3}$ B、 ${x | x > 2}$ C、 ${x | x \geq 3}$ D、 ${x | 2 < x \leq 3}$

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2. 已知复数z满足 $i (3 + z) = 1 + i$ ，则z的虚部为（）

A、 $- i$ B、i C、–1 D、1

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x - 1)}^{3}, x \leq 1 \\ \ln x, x > 1 \end{array}$ ，若 $f (a) > f (b)$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 $\frac{1}{a^{2} + 1} < \frac{1}{b^{2} + 1}$ B、 $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$ C、 $a^{2} < a b$ D、 $\ln (a^{2} + 1) > \ln (b^{2} + 1)$

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4. 国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（）

A、12个月的PMI值不低于50%的频率为 $\frac{1}{3}$ B、12个月的PMI值的平均值低于50% C、12个月的PMI值的众数为49.4% D、12个月的PMI值的中位数为50.3%

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列.若 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n}$ 的最小值为（）

A、 $- 10$ B、 $- 14$ C、 $- 18$ D、 $- 20$

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6. 已知 $\cos (2019 π + α) = - \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\sin (\frac{π}{2} - 2 α)$ =（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $- \frac{5}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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7. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（）

A、 $S > - 1 ?$ B、 $S < 0 ?$ C、 $S < - 1 ?$ D、 $S > 0 ?$

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9. 已知各项都是正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n (n \in N^{*})$ ，若当且仅当 $n = 4$ 时， $\frac{a_{n}}{n}$ 取得最小值，则（）

A、 $0 < a_{1} < 12$ B、 $12 < a_{1} < 20$ C、 $a_{1} = 12$ D、 $a_{1} = 20$

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10. 过抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点， $Q (1, 2)$ ，若 $\frac{1}{| A B |} + \frac{1}{| C D |} = \frac{1}{4}$ ，则 $| P F | + | P Q |$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 已知四棱锥 $E - A B C D$ ，底面ABCD是边长为1的正方形， $E D = 1$ ，平面 $E C D ⊥$ 平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、1

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12. 已知不等式 $x \ln x + x (k - \ln 4) + k < 0$ 的解集中仅有2个整数，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{2}{3} \ln 2)$ B、 $(\frac{3}{4} \ln \frac{4}{3} ， \frac{2}{3} \ln 2)$ C、 $[\frac{3}{4} \ln \frac{4}{3} ， + \infty)$ D、 $[\frac{3}{4} \ln \frac{4}{3} ， \frac{2}{3} \ln 2)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ， $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = 2$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. $(a x + 1) {(x - 1)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数是20，则 $a =$ .

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15. 将底面直径为4，高为 $\sqrt{3}$ 的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为.

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16. 2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为 $\frac{11}{14}$ ，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是 $\frac{1}{3}$ ，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是 $\frac{2}{5}$ .记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为 $P_{n}$ ，若当 $n \geq 2$ 时， $P_{n} \leq M$ 恒成立，则M的最小值为.

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三、解答题

17. 如图，在平面四边形ABCD中， $∠ D C B = 45 °$ ， $∠ A B D = 120 °$ ， $∠ A B C = α$ ， $A D = 10 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $△ A B D$ 的面积的最大值，

(2)、在 $△ A B D$ 的面积取得最大值的条件下，若 $B C = 5 \sqrt{2}$ ，求 $\tan \frac{α}{2}$ 的值.

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18. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ， $C C_{1} = 2$ ， $△ A B C$ ， $△ A C C_{1}$ ，均为正三角形，E为AB的中点.

(1)、证明： $A C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C E$ ，

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $B_{1} B A A_{1}$ 所成角的正弦值.

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19. 近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：

x

1

3

4

6

7

y

5

6.5

7

7.5

8

y与x可用回归方程 $\hat{y} = \hat{b} \lg x + \hat{a}$ (其中 $\hat{a}$ ， $\hat{b}$ 为常数)进行模拟.

(1)、若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元.（利润=售价-成本）

(2)、据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.一个运输户拟购置n辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元，若未发车，则每辆车每天平均亏损200元｡试比较 $n = 3$ 和 $n = 4$ 时此项业务每天的利润平均值的大小.
参考数据与公式：设 $t = \lg x$ ，则

$\bar{t}$

$\bar{y}$

$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})$

$\sum_{i = 1}^{5} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$

0.54

6.8

1.53

0.45

线性回归直线 $\hat{y} = \hat{b} \lg x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ .

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20. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 2$ ，M是椭圆E上的一个动点，且 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆E的标准方程，

(2)、若 $A (a, 0)$ ， $B (0, b)$ ，四边形ABCD内接于椭圆E， $A B / / C D$ ，记直线AD，BC的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证: $k_{1} k_{2}$ 为定值.

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21. 已知直线 $y = x - 1$ 是曲线 $f (x) = a \ln x$ 的切线.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，

(2)、若 $t \leq 3 - 4 \ln 2$ ，证明：对于任意 $m > 0$ ， $h (x) = m x - \sqrt{x} + f (x) + t$ 有且仅有一个零点.

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22. 以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴.已知曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ + 8 \sin θ$ ，P是 $C_{1}$ 上一动点， $\vec{O P} = 2 \vec{O Q}$ ，Q的轨迹为 $C_{2}$ .

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程，并化为直角坐标方程，

(2)、若点 $M (0, 1)$ ，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \cos α \\ y = 1 + t \sin α \end{array}$ （t为参数），直线l与曲线 $C_{2}$ 的交点为A，B，当 $| M A | + | M B |$ 取最小值时，求直线l的普通方程.

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23. 已知 $a, b, c \in R^{+}$ ， $\forall x \in R$ ，不等式 $| x - 1 | - | x - 2 | \leq a + b + c$ 恒成立.

(1)、求证: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{1}{3}$

(2)、求证: $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{b^{2} + c^{2}} + \sqrt{c^{2} + a^{2}} \geq \sqrt{2}$ .

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$\bar{t}$	$\bar{y}$	$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$
0.54	6.8	1.53	0.45

x	1	3	4	6	7
y	5	6.5	7	7.5	8