福建省漳州市2020届高三文数第一次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2020-04-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 > 0}$ ， $B = {x | 0 < \frac{1}{x} < 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 2}$ B、 ${x | x < - 2$ 或 $x > \frac{1}{2}}$ C、 ${x | x > 2}$ D、 ${x | x < - 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (3 + i) = 3 + i^{2020}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2 i}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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3. 如图， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 为正方形 $A B C D$ 各边上的点，图中曲线为圆弧，两圆弧分别以 $B$ 、 $D$ 为圆心， $B O$ 、 $D O$ 为半径（ $O$ 为正方形的中心）.现向该正方形内随机抛掷 $1$ 枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{5}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{8}$

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4. 记 $S_{n}$ 为正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.若 $a_{1} = 1$ ， $4 a_{3} = a_{5}$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、 $512$ B、 $511$ C、 $1023$ D、 $1024$

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5. 函数 $f (x) = | x + 2 | \cdot \ln | x |$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差数列，且 $4 \sin A = 3 \sin B$ ，则 $\sin A \cos B + \sin C =$ （）

A、 $\frac{34}{25}$ B、 $\frac{27}{25}$ C、 $\frac{12}{25}$ D、 $\frac{7}{5}$

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7. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 \leq 0 \\ x \geq 0 \\ x - y \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值是（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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8. $l$ 、 $m$ 、 $n$ 表示空间中三条不同的直线， $α$ 、 $β$ 表示不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α // β$ ，则 $m // n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m // β$ ， $n // α$ ，则 $α // β$ C、若 $α \cap β = l$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m ⊥ β$ ， $n ⊥ α$ ，则 $α ⊥ β$

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9. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点，过点 $F_{2}$ 作斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $Δ A B F_{1}$ 的面积为（）

A、 $\frac{12 \sqrt{2}}{7}$ B、 $\frac{6 \sqrt{2}}{7}$ C、 $\frac{12}{7}$ D、 $\frac{12 \sqrt{3}}{7}$

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10. 若 $\tan 2 α = - \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{\sin 2 α + \cos^{2} α}{1 + 2 \sin^{2} α} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ 或 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ 或 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ ，交 $C$ 的左、右两支于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $B$ 为线段 $A F_{2}$ 的中点且 $B F_{1} ⊥ l$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - 1 ， x < 1 \\ x^{2} - 4 x + 3 ， x \geq 1 \end{array}$ ，若 $y = k x$ 与 $f (x)$ 有三个公共点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(2 \sqrt{3} - 4 ， e - 1)$ B、 $(2 \sqrt{3} - 4 ， 0) \cup (0 ， e - 1)$ C、 $(2 \sqrt{3} - 4 ， 1) \cup (1 ， e - 1)$ D、 $(2 \sqrt{3} - 4 ， 0) \cup (0 ， 1) \cup (1 ， e - 1)$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = a \ln x + b x^{2}$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线方程为 $y = 4 x + m$ ，则 $a + b =$ .

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14. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 3$ ， $\overset{⇀}{b} = (1, 2)$ ， $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = 2$ ，则 $| 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) + 1 (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 相邻的两个对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ， $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{π}{3}, 1)$ ，则函数 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递增区间为.

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16. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $B C = C D = 2$ ， $B C ⊥ C D$ ， $A B = A D = A C = \sqrt{6}$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的体积为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $\frac{a_{n + 1}}{n} = \frac{a_{n}}{n + 1} + \frac{2}{n (n + 1)}$ .

(1)、证明：数列 ${n a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、设 $b_{n} = (2 - a_{n}) (2 - a_{n + 1})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入高三到高考要参加 $10$ 次模拟考试，下面是高三第一学期某学生参加 $5$ 次模拟考试的数学成绩表：
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

模拟考试第 $x$ 次

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

考试成绩 $y$ 分

$90$

$100$

$105$

$105$

$100$

(1)、已知该考生的模拟考试成绩 $y$ 与模拟考试的次数 $x$ 满足回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，若高考看作第 $11$ 次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；

(2)、把 $5$ 次模拟考试的成绩单放在五个相同的信封中，从中随机抽取 $2$ 个信封研究成绩，求抽取的 $2$ 个信封中恰有 $1$ 个成绩不等于平均值 $\bar{y}$ 的概率.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A P = P B$ ， $A P ⊥ P B$ ， $E$ 为 $C P$ 的中点.

(1)、求证： $A P //$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求点 $D$ 到平面 $A C P$ 的距离.

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20. 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $| A B | = 8$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $C$ 上一点，且 $y_{0} \in (2 - 2 \sqrt{2}, 2 + 2 \sqrt{2})$ ，求 $Δ P A B$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = (1 - a) x - \ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $0 < x < a$ ，证明： $f (a + x) < f (a - x)$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ + 4 \sin θ$ .

(1)、写出曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）.若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且点 $P (0, 2)$ ，求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 设函数 $f (x) = | x + 3 | - | x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 2 - 3 x$ 的解集；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为 $m$ ，且正实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a + b = m$ ，求 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值.

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模拟考试第 $x$ 次	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
考试成绩 $y$ 分	$90$	$100$	$105$	$105$	$100$