福建省漳州市2020届高三毕业班文数第二次高考适应性测试试卷

试卷更新日期：2020-04-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | x^{2} = x}$ ， $N = {x | \lg x \leq 0}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${1}$ B、 $[0, 1]$ C、 $(0, 1]$ D、 $(- \infty, 1]$

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2. 复数 $z$ 满足 $| z | + (z - 1) i = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + \frac{3}{4} i$ B、 $1 - \frac{3}{4} i$ C、 $2 \sqrt{2} +i$ D、 $2 \sqrt{2} - i$

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3. 下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.

若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列 ${a_{n}}$ ， ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 B、数列 ${S_{n}}$ 是递增数列 C、数列 ${a_{n}}$ 的最大项是 $a_{11}$ D、数列 ${S_{n}}$ 的最大项是 $S_{11}$

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4. 若 $a = \log_{6} 7$ ， $b = \log_{5} 4$ ， $c = \log_{\frac{1}{3}} 4$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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5. 在平面直角坐标系 $x Ο y$ 中，已知四边形 $Α Β CD$ 是平行四边形， $\vec{Α Β} = (1, - 2)$ ， $\vec{Α D} = (2, 1)$ ，则 $\vec{Α D} \cdot \vec{Α C} =$ （）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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6. 函数 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) cos x (- π \leq x \leq π$ 且 $x \neq 0)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm ，正方形的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P ，则圆周率π的近似值为（）

A、 $\frac{1}{4 (1 - p)}$ B、 $\frac{1}{1 - p}$ C、 $\frac{1}{1 - 4 p}$ D、 $\frac{4}{1 - p}$

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8. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $- a_{3}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，则 $S_{2020}$ 与 $a_{2020}$ 的关系是（）

A、 $S_{2020} = 2 a_{2020} - 1$ B、 $S_{2020} = 2 a_{2020} + 1$ C、 $S_{2020} = 4 a_{2020} - 3$ D、 $S_{2020} = 4 a_{2020} + 1$

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9. 若正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为2，外接球的表面积为 $40 π$ ，四边形ABCD和 $B C C_{1} B_{1}$ 的外接圆的圆心分别为M ， N ，则直线MN与 $C D_{1}$ 所成的角的余弦值是（）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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10. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增。若实数 $a$ 满足 $f (2^{| a - 1 |}) > f (- \sqrt{2})$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

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11. 某学校运动会的立定跳远和

30

秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为

10

名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．

学生序号	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
立定跳远（单位：米）	$1.96$	$1.92$	$1.82$	$1.80$	$1.78$	$1.76$	$1.74$	$1.72$	$1.68$	$1.60$
30秒跳绳（单位：次）	$63$	$a$	$75$	$60$	$63$	$72$	$70$	$a - 1$	$b$	$65$

在这 $10$ 名学生中，进入立定跳远决赛的有 $8$ 人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）

A、

2

号学生进入

30

秒跳绳决赛 B、

5

号学生进入

30

秒跳绳决赛 C、

8

号学生进入

30

秒跳绳决赛 D、

9

号学生进入

30

秒跳绳决赛

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $φ \in [0, \frac{π}{2}]$ ）的图象经过点 $(0, \frac{1}{2})$ ，若关于x的方程 $f (x) = - 1$ 在 $[\frac{π}{6}, π]$ 上恰有一个实数解，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{4}{3}, \frac{10}{3})$ B、 $[\frac{4}{3}, 8]$ C、 $[\frac{10}{3}, 20]$ D、 $[\frac{4}{3}, 20]$

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二、填空题

13. 若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2 m + 1} + \frac{y^{2}}{2 m} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $C$ 的短轴长为．

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14. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y \geq 2 ， \\ x + 3 y - 3 \leq 0 ， \\ y \geq 0 ， \end{array}$ 则 $\frac{y}{x}$ 的最大值是．

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15. 如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，正视图中的曲线为四分之一圆弧，则该几何体的表面积是．

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$ 的下焦点为 $F$ ，虚轴的右端点为 $A$ ，点 $P$ 在 $C$ 的上支， $O$ 为坐标原点，直线 $O Q$ 和直线 $A Q$ 的倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，若 $2 \sin α = \sin β \neq 0$ ，则 $| P F | + | P Q |$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、C的对边分别为a、b、c，面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} c^{2} \cos A$ ，且 $b = 3 c$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若角 $A$ 的角平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，且 $B D = \sqrt{7}$ ，求 $\cos ∠ A D B$ ．

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18. 已知四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为梯形， $∠ B C D = ∠ A D C = ∠ S A D = 90 °$ ，平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为线段 $A D$ 的中点， $A D = 2 B C = 2 C D$ .

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $S A B$ ；

(2)、若 $S A = A D = 2$ ，求点 $E$ 到平面 $S B D$ 的距离.

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19. 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示

参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 96$ $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 371$

参考公式：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} y_{i}) - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$

(1)、由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润

y

（单位：百万元）与月份代码

x

之间的关系，求

y

关于

x

的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；

(2)、甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有

A ， B

两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用

4

个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对

A ， B

两种型号的新型材料对应的产品各

100

件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：

使用寿命/材料类型	1个月	2个月	3个月	4个月	总计
A	20	35	35	10	100
B	10	30	40	20	100

如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？

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20. 已知直线 $l_{1} : 3 x - y - 6 = 0$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ ，线段 $A B$ 的中垂线 $l_{2}$ 与抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有两个不同的交点 $C$ 、 $D$ ．

(1)、求 $p$ 的取值范围；

(2)、是否存在 $p$ ，使得 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共圆，若存在，请求出 $p$ 的值，若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{3} + b$ ．

(1)、求证：当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上存在最小值；

(2)、若 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的零点且当 $x < 2$ 时， $f (x) < 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos α, \\ y = \sin α, \end{array}$ （ $α$ 为参数），P是曲线C上的点且对应的参数为 $β$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ .直线l过点P且倾斜角为 $π - β$ .

(1)、求曲线C的普通方程和直线l的参数方程.

(2)、已知直线l与x轴，y轴分别交于 $A, B$ ，求证： $| P A | \cdot | P B |$ 为定值.

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a^{2} + 4 b^{2} = \frac{1}{a b} + 3$ .

(1)、求证： $a b \leq 1$ ；

(2)、若 $b > a$ ，求证： $\frac{1}{a^{3}} - \frac{1}{b^{3}} \geq 3 (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$ .

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