福建省泉州市2020届理数普通高中毕业班单科质量检查试卷

试卷更新日期：2020-04-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - x < 0}, N = {x | x > 1}$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $N \subseteq M$ C、 $M \cup N = R$ D、 $M \cap N = \emptyset$

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2. 若复数z满足 $z (1 - i) = 2 + 3 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{5}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$ C、 $\frac{5}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{5}{2} + \frac{1}{2} i$

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3. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y - 2 \leq 0 \\ 3 x - y + 1 \geq 0 \\ y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 4 x + 2 y$ 的最小值为（）

A、-17 B、-13 C、 $\frac{16}{3}$ D、20

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4. 已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不重合的平面.给出下列四个命题：
①若 $α / / β, m \subset β$ ，则 $m / / α$ ；②若 $m / / n, n \subset α$ ，则 $m / / α$ ；

③若 $α ⊥ β, m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ ；④若 $m / / α, m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ .

其中为真命题的编号是（）

A、①②④ B、①③ C、①④ D、②④

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5. 函数 $f (x) = x \ln x^{2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的实轴长为4，左焦点F到C的一条渐近线的距离为3，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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7. 执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

A、-1010 B、-1009 C、1009 D、1010

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8. 明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有 $大吕 = \sqrt{黄钟 \times 太簇}$ ， $大吕 = \sqrt[3]{{(黄钟)}^{2} \times 夹钟}$ ， $太簇 = \sqrt[3]{黄钟 \times {(夹钟)}^{2}}$ ．据此，可得正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{k} =$ （）

A、 $\sqrt[n - k + 1]{a_{1}^{n - k} \cdot a_{n}}$ B、 $\sqrt[n - k + 1]{a_{1} \cdot a_{n}^{n - k}}$ C、 $\sqrt[n - 1]{a_{1}^{n - k} \cdot a_{n}^{k - 1}}$ D、 $\sqrt[n - 1]{a_{1}^{k - 1} \cdot a_{n}^{n - k}}$

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9. 已知抛物线E： $x^{2} = 8 y$ 的焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，与x轴交于点 $C$ .若A为线段 $C F$ 的中点，则 $| A B | =$ （）

A、9 B、12 C、18 D、72

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10. 已知 $a = \log_{π} e$ ， $b = \ln \frac{π}{e}$ ， $c = \ln \frac{e^{2}}{π}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l： $k x - y + 4 k = 0$ 与曲线 $y = \sqrt{9 - x^{2}}$ 交于A，B两点，且 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} = 2$ ，则 $k =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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12. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为3， $D$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $E$ 是线段 $A_{1} D$ 上的动点.若三棱锥 $E - A B C$ 的四个顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 表面积的取值范围为（）

A、 $[8 π ， \frac{21}{2} π]$ B、 $[16 π ， \frac{273}{16} π]$ C、 $[\frac{273}{16} π ， 21 π]$ D、 $[16 π ， 21 π]$

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2, 1)$ ，且 $\overset{⇀}{a} // \overset{⇀}{b}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} | =$

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14. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.若 $2 a_{n + 1} - a_{n} = 0$ ， $S_{5} = 93$ ，则 $a_{5} =$ .

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x + 1) = 3 f (x)$ ；当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = \ln (x + 2)$ ，则 $f (0) + f (- e) =$ .

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16. 若函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(\frac{π}{2}, π)$ 单调，且在 $(0, \frac{π}{3})$ 存在极值点，则 $ω$ 的取值范围为

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三、解答题

17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A E ⊥ P D$ .

(1)、证明： $A E ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $A P = A B$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值.

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18. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和.已知 $a_{n} > 0$ ， $6 S_{n} = a_{n}^{2} + 3 a_{n} - 4$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}^{2} + a_{n + 1}^{2}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. $Δ A B C$ 中， $B = 60^{\circ} ， A B = 2 ， Δ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $A C$

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 的中点， $E ， F$ 分别为边 $A B ， A C$ 上的点（不包括端点），且 $∠ E D F = 120^{\circ}$ ，求 $Δ D E F$ 面积的最小值.

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20. 已如椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $A (\sqrt{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在E上.

(1)、求E的方程：

(2)、斜率不为0的直线l经过点 $B (\frac{1}{2} ， 0)$ ，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得 $∠ P C B = ∠ Q C B$ ？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由

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21. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x + 1) e^{x}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = (x^{2} + 1) e^{x} - m x - 1$ 在 $[- 1 ， + \infty)$ 有两个零点，求m的取值范围.

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22. 在同一平面直角坐标系 $x O y$ 中，经过伸缩变换 ${\begin{array}{l} x^{'} = 2 x ， \\ y^{'} = y \end{array}$ 后，曲线 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 变为曲线 $C_{2}$ .

(1)、求 $C_{2}$ 的参数方程；

(2)、设 $A (2 ， 1)$ ，点 $P$ 是 $C_{2}$ 上的动点，求 $△ O A P$ 面积的最大值，及此时 $P$ 的坐标．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - \frac{1}{a} |$ ．

(1)、证明： $f (x) \geq 2$ ；

(2)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时， $f (x) \geq x + b$ ，求 $b$ 的取值范围．

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