安徽省淮南市2020届高三文数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-04-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | | x - 2 | \leq 1}$ ， $B = {x | y = \frac{2}{\sqrt{2 - x}}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 2]$ B、 $(2, 3]$ C、 $[1, 2)$ D、 $[1, 3)$

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2. 已知 $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位，若复数 $z = \frac{a + i}{1 + i}$ 是纯虚数，则a的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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3. 已知a，b都是实数，那么“ $\lg a > \lg b$ ”是“ $a > b$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = 3 - x + {(\frac{1}{2})}^{x}$ 零点的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 由下表可计算出变量

x, y

的线性回归方程为（　　）

$x$	5	4	3	2	1
$y$	2	1.5	1	1	0.5

A、

\hat{y} = 0.35 x + 0.15

B、

\hat{y} = - 0.35 x + 0.25

C、

\hat{y} = - 0.35 x + 0.15

D、

\hat{y} = 0.35 x + 0.25

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6. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知 $Δ A B C$ 的顶点 $A (4 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，且 $A C = B C$ ，则 $Δ A B C$ 的欧拉线方程为（）

A、 $x - 2 y + 3 = 0$ B、 $2 x + y - 3 = 0$ C、 $x - 2 y - 3 = 0$ D、 $2 x - y - 3 = 0$

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7. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \ln | x | - 1$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ，点 $O$ 为 $Δ A B C$ 的外心，则 $\overset{⇀}{A O} \cdot \overset{⇀}{B C}$ 的值为（）

A、26 B、13 C、 $\frac{52}{3}$ D、10

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $x = 1$ 是函数 $f (x) = \frac{a_{n + 1}}{3} x^{3} - a_{n} x^{2} + 1$ $(n \in N_{+})$ 的极值点，设 $b_{n} = \log_{2} a_{n + 2}$ ，记 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $[\frac{2018}{b_{1} b_{2}} + \frac{2018}{b_{2} b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2018}{b_{2018} b_{2019}}] =$ （）

A、2019 B、2018 C、1009 D、1008

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10. 如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（）

A、 $\frac{500 π}{3} {cm}^{2}$ B、 $\frac{625 π}{9} {cm}^{2}$ C、 $\frac{625 π}{36} {cm}^{2}$ D、 $\frac{15625 π}{162} {cm}^{2}$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线交双曲线右支于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $Δ A B F_{1}$ 是等腰三角形，且 $∠ A = 120 °$ ．则 $Δ A B F_{1}$ 的周长为（）

A、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3} + 8$ B、 $4 (\sqrt{2} - 1)$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} + 8$ D、 $2 (\sqrt{3} - 2)$

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12. 若函数 $f (x) = a x + \ln x - \frac{x^{2}}{x - \ln x}$ 有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e} - \frac{e}{e - 1} ， - 1)$ B、 $[1 ， \frac{e}{e - 1} - \frac{1}{e}]$ C、 $(1 ， \frac{e}{e - 1} - \frac{1}{e})$ D、 $[\frac{1}{e} - \frac{e}{e - 1} ， - 1]$

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二、填空题

13. 若实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x - y \leq 0 ， \\ 2 x - y \geq 0 ， \\ x + y - 2 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最大值为．

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14. 已知 $\sin (\frac{π}{6} + α) = \frac{4}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})$ ，则 $\cos α$ 的值为．

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15. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{e x}{e - x}$ ，满足 $f (\frac{e}{2019}) + f (\frac{2 e}{2019}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{2018 e}{2019}) = \frac{1009}{2} (a + b)$ （a，b均为正实数），则ab的最大值为．

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16. 设抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且 $| A F | = 4 | B F |$ ，则弦长 $| A B | =$ ．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{3} a \cos C = c \sin A$ ．
（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）已知点P在边BC上， $∠ P A C = 60 °$ ， $P B = 3$ ， $A B = \sqrt{19}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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18. 高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求图中 $a$ 的值；

（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；

（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下2×2列联表：

	经常使用	偶尔使用或不用	合计
男性	50		100
女性		40
合计			200

完成上述2×2列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

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19. 如图在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ D C$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点 $A D = 2 B C = 2 C D = 4$ ，以 $B E$ 为折痕把 $Δ A B E$ 折起，使点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，且 $P B ⊥ B C$ ．

（Ⅰ）求证： $P E ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

（Ⅱ）设 $F$ ， $G$ 分别为 $P D$ ， $P B$ 的中点，求三棱锥 $G - B C F$ 的体积．

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆的左右焦点，过点 $F$ 的直线交椭圆于 $M$ ， $N$ 两点，且 $Δ M N F_{2}$ 的周长为12．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程

（Ⅱ）过点 $P (0, 2)$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于两点 $A$ ， $B$ ，试判断在 $x$ 轴上是否存在点 $D$ ，使得 $Δ A D B$ 是以 $A B$ 为底边的等腰三角形若存在，求点 $D$ 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．

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21. 设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{a}} - b \ln x$ ，且 $f (1) = 1$ （其中e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若 $b = 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若 $0 \leq b \leq e$ ，求证： $f (x) > 0$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}; x = - 2$ ，圆 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ,以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ，设 $C_{2}, C_{3}$ 的交点为 $M, N$ ，求 $Δ C_{2} M N$ 的面积．

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23. 已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)、当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)、若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

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