安徽省淮北市2020届理数高三第一次模拟试卷

试卷更新日期：2020-04-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {x | (x + 1) (x - 2) < 0, x \in Z}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知复数 $ω = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $ω^{2}$ 的实部为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 已知锐角 $α$ 满足 $\sin (α + \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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4. 国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目.已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测.现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图.下列描述正确的是（）

A、甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐 B、甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐 C、乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐 D、乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐

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5. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 直线 $l : x = 2$ ，则“ $1 < r \leq 3$ ”是“ $C$ 上恰有两个不同的点到 $l$ 的离为1”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若函数 $f (x) = (k - 1) a^{x} - a^{- x} (a > 0 且 a \neq 1)$ 在R上既是奇函数又是减函数，则 $g (x) = {log}_{a} (x + k)$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (4, 0)$ ，点 $Q (0, - 3)$ ， $P$ 为双曲线左支上的动点，且 $△ P Q F$ 周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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8. 已知 $a = \frac{1}{2} \log_{\sqrt{5}} 3$ ， $b = 2 \log_{5} \sqrt{2}$ ， $c = \log_{7} 3$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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9. 函数 $y = {[f (x)]}^{g (x)}$ 在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到 $\ln y = g (x) \cdot \ln f (x)$ ，然后两边同时求导得 $\frac{y^{'}}{y} = g^{'} (x) \ln f (x) + g (x) \frac{f^{'} (x)}{f (x)}$ ，于是 $y^{'} = {[f (x)]}^{g (x)} \cdot [g^{'} (x) \ln f (x) + g (x) \frac{f^{'} (x)}{f (x)}]$ ，用此法探求 $y = {(x + 1)}^{\frac{1}{x + 1}} (x > 0)$ 的递减区间为（）

A、 $(0 ， e)$ B、 $(0 ， e - 1)$ C、 $(e - 1 ， + \infty)$ D、 $(e ， + \infty)$

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10. 淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科.若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有（）（同一半天如果有两科考试不计顺序）

A、 $648$ B、 $1728$ C、 $864$ D、 $324$

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{5}^{2} + a_{9}^{2} = 10$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ 的最大值为（）

A、 $5 \sqrt{5}$ B、20 C、25 D、100

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二、多选题

12. 关于函数 $f (x) = | \cos^{2} x - \sin^{2} x | + 1$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 以 $π$ 为周期且在 $x = \frac{k π}{2} (k \in Z)$ 处取得最大值 B、函数 $f (x)$ 以 $\frac{π}{2}$ 为周期且在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 单调递增 C、函数 $f (x)$ 是偶函数且在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 单调递减 D、将 $f (x)$ 的图像向右平移1个单位得到 $g (x) = | \cos (2 x - 1) | + 1$

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三、填空题

13. 在边长为2的正 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} =$ .

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14. 从抛物线 $y^{2} = 4 x$ 图象上一点 $A$ 作抛物线准线的垂线，垂足为 $B$ ，且 $| A B | = 5$ ，设 $F$ 为抛物线的焦点，则 $△ A B F$ 的面积为.

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15. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{- x} + 2019, x \leq 0 \\ 2020, x > 0 \end{array}$ ，则满足 $f (x^{2} - 3) \leq f (- 2 x)$ 的 $x$ 取值范围是.

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16. 已知直线 $m$ 与球 $O$ 有且只有一个公共点，从直线 $m$ 出发的两个半平面 $α 、 β$ 截球 $O$ 所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角 $α - m - β$ 的平面角为 $120^{°}$ ，则球 $O$ 的表面积等于.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = S$ .

(1)、求 $\sin^{2} \frac{A}{2} - \cos^{2} \frac{A}{2} - \sqrt{5} \sin 2 A$ 的值；

(2)、若角 $A, B, C$ 成等差数列， $| \vec{C B} - \vec{C A} | = 4$ 求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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18. 在直角梯形 $A B C D$ （如图1）， $∠ A B C = 90^{°}$ ， $B C / / A D$ ， $A D = 8$ ， $A B = B C = 4$ ， $M$ 为线段 $A D$ 中点.将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 折起，使平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ，得到几何体 $B - A C D$ （如图2）.

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求 $A B$ 与平面 $B C M$ 所成角 $θ$ 的正弦值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比 $q (q > 1)$ ，且 $b_{3} + b_{4} + b_{5} = 28$ ， $b_{4} + 2$ 是 $b_{3}$ 和 $b_{5}$ 的等差中项.

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = b_{n} + \frac{1}{a_{n}^{2} - 1}$ ， ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$ ，若 $2 T_{n} ⩾ m$ 对一切 $n \in N^{*}$ 成立，求实数 $m$ 的最大值.

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20. 有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下.现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用

a 、 b 、 c

表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标

λ = a + b + c

的值评定石榴的等级，若

λ ⩾ 4

则为一级；若

2 ⩽ λ ⩽ 3

则为二级；若

0 ⩽ λ ⩽ 1

则为三级.

f

近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：

种植园编号	A	B	C	D	E	F
$(a, b, c)$	$(1, 0, 0)$	$(2, 2, 1)$	$(0, 1, 1)$	$(2, 0, 2)$	$(1, 1, 1)$	$(1, 1, 2)$
种植园编号	G	H	I	J	K	L
$(a, b, c)$	$(2, 2, 2)$	$(0, 0, 1)$	$(2, 2, 1)$	$(0, 2, 1)$	$(1, 2, 0)$	$(0, 0, 2)$

(1)、若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；

(2)、在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，

ξ

表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量

ξ

的分布列及数学期望.

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21. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (1 ， 1)$ 离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、如图，若菱形 $A B C D$ 内接于椭圆 $Γ$ ，求菱形 $A B C D$ 面积的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = \sin x - a \ln (x + 1)$ ， $a \in R$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数.

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 可上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(3)、求证：当 $0 < a < {(1 + \frac{π}{2})}^{2}$ 时 $f^{'} (x)$ 在区间 $(- 1 ， \frac{π}{2})$ 内存在唯一极大值点.

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