湖北省武汉市2016-2017学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2017-08-31 类型：期末考试

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一、选择题

1. 全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、∁_UA∩∁_UB D、 $- \frac{3}{5}$

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2. 已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）

A、 $\frac{1}{\sqrt{1 + m^{2}}}$ B、 $\frac{1 - m^{2}}{1 + m^{2}}$ C、 $\frac{m}{\sqrt{1 + m^{2}}}$ D、﹣ $\frac{m}{\sqrt{1 + m^{2}}}$

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3. 下列函数是奇函数的是（）

A、f（x）=x²+2|x| B、f（x）=x•sinx C、f（x）=2^x+2^﹣^x D、 $f (x) = \frac{c o s x}{x}$

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4. 在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D的坐标是（）

A、（7，﹣6） B、（7，6） C、（6，7） D、（﹣7，6）

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5. 下列各命题中不正确的是（）

A、函数f（x）=a^x⁺¹（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1） B、函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 在[0，+∞）上是增函数 C、函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数 D、函数f（x）=x²+4x+2在（0，+∞）上是增函数

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6. 若将函数y=2sin2x的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）

A、x= $\frac{k π}{2}$ ﹣ $\frac{π}{6}$ （k∈Z） B、x= $\frac{k π}{2}$ + $\frac{π}{6}$ （k∈Z） C、x= $\frac{k π}{2}$ ﹣ $\frac{π}{12}$ （k∈Z） D、x= $\frac{k π}{2}$ + $\frac{π}{12}$ （k∈Z）

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7. 我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算： $η = 10 \cdot l g \frac{I}{I_{0}}$ （其中I₀是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η₁=70dB的声音强度为I₁ ， η₂=60dB的声音强度为I₂ ，则I₁是I₂的（）

A、 $\frac{7}{6}$ 倍 B、10倍 C、 $10^{\frac{7}{6}}$ 倍 D、 $l n \frac{7}{6}$ 倍

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8. △ABC中，D在AC上，且 $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，P是BD上的点， $\vec{A P} = m \vec{A B} + \frac{2}{9} \vec{A C}$ ，则m的值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、1

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9. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} a \cdot s i n (\frac{π x}{2} + \frac{π}{6}) \\ 2^{- x} \end{matrix} \begin{matrix} (x \geq 0) \\ (x < 0) \end{matrix}$ ，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）

A、2 B、﹣2 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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10. 已知函数f（x）=x²•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）

A、f（sinA）＞f（sinB） B、f（cosA）＞f（cosB） C、f（sinA）＞f（cosB） D、f（sinA）＜f（cosB）

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} \\ 2^{x} \end{matrix} \begin{matrix} (0 \leq x < a) \\ (x > a) \end{matrix}$ ，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A、（0，2） B、（2，+∞） C、（2，4） D、（4，+∞）

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{l n (x + 1)}{x - 3}$ 的定义域是

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14. 已知tanα=2，则 $\frac{s i n (α + \frac{π}{2}) + c o s (α - \frac{π}{2})}{3 s i n (\frac{π}{2} - α) - c o s (\frac{π}{2} + α)}$ = ．

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15. 已知 $s i n (α + \frac{π}{2}) = \frac{3}{5}$ ， $α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，则tanα的值为．

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16. 矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A D}$ ， $\vec{C F} = \frac{1}{2} \vec{C D}$ ，若向量 $\vec{B D} = x \vec{B E} + y \vec{B F}$ ，则x+y= ．

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三、解答题

17. 求值：

(1)、 ${(3 \sqrt{3})}^{\frac{2}{3}} - l n e^{2}$ +log₃18﹣log₃6+ $t a n \frac{7 π}{6} \cdot c o s \frac{5 π}{6}$

(2)、A是△ABC的一个内角， $s i n A \cdot c o s A = - \frac{1}{8}$ ，求cosA﹣sinA．

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18. 综合题

(1)、已知向量 $\vec{A B} = (6 ， 1)$ ， $\vec{B C} = (x ， y)$ ， $\vec{C D} = (- 2 ， - 3)$ ，若 $\vec{B C} ∥ \vec{A D}$ ，试求x与y之间的表达式．

(2)、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足 $\vec{O C} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B}$ ，求证：A、B、C三点共线，并求 $\frac{| \vec{A C} |}{| \vec{C B} |}$ 的值．

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19. 函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（ $A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示．

(1)、求函数f（x）的解析式．

(2)、函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．

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20. 某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+t（其中A＞0，

ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2}

）的图象时，列出了如表格中的部分数据．

x	$- \frac{π}{4}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{5 π}{12}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{13 π}{12}$
ωx+ϕ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3 π}{2}$	2π
f（x）	2	6	2	﹣2	2

(1)、请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式．

(2)、若

x \in [- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{4}]

，求f（x）的最大值与最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 4 [s i n (θ + \frac{π}{3})] \cdot x - 2$ ，θ∈[0，2π）

(1)、若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求 $\sqrt{3} s i n θ \cdot c o s θ + c o s^{2} θ$ 的值．

(2)、若f（x）在 $[- \sqrt{3} ， 1]$ 上是单调函数，求θ的取值范围．

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22. 若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足 $f (x) = f (\frac{1}{x})$ ，则称f（x）具有性质M．

(1)、很明显，函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ （x∈（0，+∞）具有性质M；请证明 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ （x∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．

(2)、已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．

(3)、已知函数 $h (x) = | x - \frac{1}{x} |$ ，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．

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