湖北省荆门市2016-2017学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2017-08-31 类型：期末考试

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一、选择题

1. cos $\frac{2017 π}{6}$ 的值是（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ B、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 函数y= $\sqrt{1 - 3^{x}}$ 的定义域是（）

A、[0，+∞） B、（﹣∞，0] C、[1，+∞） D、（﹣∞，+∞）

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3. 已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，5}，B={1，3，4}，则（∁_UA）∩B的真子集个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知θ∈（π，2π）， $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（cosθ，sinθ），若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则cosθ的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、± $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、﹣ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5. 若一圆弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角弧度数为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、2

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6. 函数y=tan（ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{3} π$ ）在一个周期内的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 函数f（x）=（a²+a﹣5）log_ax为对数函数，则f（ $\frac{1}{8}$ ）等于（）

A、3 B、﹣3 C、﹣log₃6 D、﹣log₃8

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8. 函数f（x）=log₂x﹣3sin（ $\frac{π}{2}$ x）零点的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 将函数y=sin（x+ $\frac{π}{6}$ ）图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）

A、x=﹣ $\frac{π}{4}$ B、x=﹣ $\frac{π}{2}$ C、x= $\frac{π}{8}$ D、x= $\frac{π}{4}$

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10. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0，f（x）= ${(\frac{1}{3})}^{x}$ ，f^﹣¹（x）是f（x）的反函数，那么f^﹣¹（﹣9）（）

A、3 B、﹣3 C、2 D、﹣2

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11. 如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线， $\vec{B G} = 2 \vec{G O}$ ，设 $\vec{C D}$ ∥ $\vec{A G}$ ，若 $\vec{A D} = \frac{1}{5} \vec{A B} + λ \vec{A C}$ （λ∈R），则λ的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、2

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12. 已知函数f（x）定义域为[0，+∞），当x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，当x∈[n，n+1]时，f（x）= $\frac{f (x - n)}{2^{n}}$ ，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b有且仅有2016个交点，则b的取值范围是（）

A、（0，1） B、（ $\frac{1}{2^{1007}}$ ， $\frac{1}{2^{1006}}$ ） C、（ $\frac{1}{2^{2017}}$ ， $\frac{1}{2^{2016}}$ ） D、（ $\frac{1}{2^{1008}}$ ， $\frac{1}{2^{1007}}$ ）

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二、填空题

13. 函数y=cosx在区间[﹣π，a]上为增函数，则a的范围是

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14. 设向量 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，则 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a}$ =

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15. 若2^a=5^b=10，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ = ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} a x + 1 - 4 a ， & x < 1 \\ x^{2} - 3 a x ， & x \geq 1 \end{matrix}$ ，若存在x₁ ， x₂∈R，x₁≠x₂ ，使f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是

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三、解答题

17. （I）化简求值： $l o g_{\frac{1}{3}} \sqrt{27} + l g 25 + l g 4 + 7^{- l o g_{7} 2} + {(- 0.98)}^{0}$ ；
（II）已知角α的终边上一点 $P (\sqrt{2} ， - \sqrt{6})$ ，求值： $\frac{c o s (\frac{π}{2} + α) c o s (2 π - α) + s i n (- α - \frac{π}{2}) c o s (π - α)}{s i n (π + α) c o s (\frac{π}{2} - α)}$ ．

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18. 已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|m+1≤x≤2m+3}
（I）若A∪B=A，求实数m的取值范围；
（II）若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．

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19. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $| \vec{a} | = 2$ ，| $\vec{b}$ |=3，记 $\vec{m} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ， $\vec{n} = 2 \vec{a} + k \vec{b}$
（I）若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，求实数k的值；
（II）当 $k = - \frac{4}{3}$ 时，求向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角θ．

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20. 近几年，由于环境的污染，雾霾越来越严重，某环保公司销售一种PM2.5颗粒物防护口罩深受市民欢迎．已知这种口罩的进价为40元，经销过程中测出年销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售这种口罩的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5．
（I）求y关于x的函数关系；
（II）写出该公司销售这种口罩年获利W（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式
（年获利=年销售总金额﹣年销售口罩的总进价﹣年总开支金额）；当销售单价x为何值时，年获利最大？最大获利是多少？
（III）若公司希望该口罩一年的销售获利不低于57.5万元，则该公司这种口罩的销售单价应定在什么范围？在此条件下要使口罩的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

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21. 若y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0， $| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．
（I）求函数y=f（x）的解析式；
（II）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象；若y=g（x）图象的一个对称中心为 $(\frac{5 π}{6} ， 0)$ ，求θ的最小值．

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22. 对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（I）已知二次函数f（x）=ax²+2bx﹣3a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（II）设f（x）=2^x+m﹣1是定义在[﹣1，2]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（III）设f（x）=4^x﹣m•2^x⁺¹+m²﹣3，若f（x）不是定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

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