北京市西城区2016-2017学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2017-08-31 类型：期末考试

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一、选择题

1. 如果θ是第三象限的角，那么（）

A、sinθ＞0 B、cosθ＞0 C、tanθ＞0 D、以上都不对

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2. 若向量 $\vec{a}$ =（1，﹣2）， $\vec{b}$ =（x，4）满足 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则实数x等于（）

A、8 B、﹣8 C、2 D、﹣2

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3. 若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα=（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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4. 函数 $f (x) = s i n (\frac{π}{2} - x)$ 是（）

A、奇函数，且在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 B、奇函数，且在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递减 C、偶函数，且在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、偶函数，且在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递减

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5. 函数f（x）=sinx﹣cosx的图象（）

A、关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 B、关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、关于直线 $x = - \frac{π}{2}$ 对称

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6. 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若 $\vec{A D} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $\frac{λ}{μ}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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7. 定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）

A、y=sin|x| B、y=cos|x| C、y=|sinx| D、y=|cos2x|

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8. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的模分别为2和3，且夹角为60°，则| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |等于（）

A、 $\sqrt{13}$ B、13 C、 $\sqrt{19}$ D、19

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9. 函数 $y = 2 \sqrt{2} s i n (ω x + φ)$ （其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）

A、 $ω = \frac{π}{8} ，_{} φ = \frac{3 π}{4}$ B、 $ω = \frac{π}{8} ，_{} φ = \frac{π}{4}$ C、 $ω = \frac{π}{4} ，_{} φ = \frac{π}{2}$ D、 $ω = \frac{π}{4} ，_{} φ = \frac{3 π}{4}$

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10. 如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO的面积S=f（x），那么f （x）的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 若向量 $\vec{a}$ =（﹣1，2）与向量 $\vec{b}$ =（x，4）平行，则实数x= ．

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12. 若θ为第四象限的角，且 $s i n θ = - \frac{1}{3}$ ，则cosθ=；sin2θ= ．

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13. 将函数y=cos2x的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，所得图象对应的函数表达式为．

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14. 若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，则 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角等于．

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15. 已知 $s i n x + s i n y = \frac{1}{3} ， c o s x + c o s y = \frac{1}{5}$ ，则cos（x﹣y）= ．

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16. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足 $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{5 π}{6}) = 0$ ，给出以下四个结论：
①ω=3；②ω≠6k，k∈N^*；③φ可能等于 $\frac{3}{4} π$ ；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．
其中所有正确的结论序号是．

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三、解答题

17. 已知φ∈（0，π），且 $t a n (φ + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{3}$ ．
（Ⅰ）求tan2φ的值；
（Ⅱ）求 $\frac{s i n φ + c o s φ}{2 c o s φ - s i n φ}$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = c o s x \cdot c o s (x - \frac{π}{3})$ ．

(1)、求函数f（x）的单调增区间；

(2)、若直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，求实数a的取值范围．

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19. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设 $\vec{A P} = x \vec{A D}$ ， $\vec{P B} \cdot \vec{P C} = y$ ，则得到函数y=f（x）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值．

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20. 设全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁_UB）= ．

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{- 2} ，_{}_{} x < 0 \\ l n x ，_{}_{} x > 0 \end{matrix}$ 若f（a）=2，则实数a= ．

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22. 定义在R上的函数f （x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f（3）=0，则不等式f（x）＞0的解集为．

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23. 函数 $f (x) = [\frac{x + 1}{2}] - [\frac{x}{2}] (x \in N)$ 的值域为．（其中[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）

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24. 在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m²的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是．

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四、解答题

25. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} \frac{x - 1}{x + 1}$ ．
（Ⅰ）若 $f (a) = \frac{1}{2}$ ，求a的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．

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26. 已知函数f（x）=3^x ， g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；
（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．

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27. 设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．

(1)、若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；

(2)、判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}$ 的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．

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