广东省广州市增城区2019年中考数学一模考试试卷

试卷更新日期：2020-03-30 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在实数 $\frac{1}{3}$ 、0、-1、 $- \sqrt{2}$ 中，最小的实数是（）．

A、 $- \sqrt{2}$ B、-1 C、0 D、 $\frac{1}{3}$

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2. 如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确是（）．

A、 $3 a - 2 a = 1$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{8} \div a^{2} = a^{6} (a \neq 0)$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a b} (a \geq 0, b \geq 0)$

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4. 如图，直线 $a ， b$ 被 $c ， d$ 所截，且 $a / / b$ ，则下列结论中正确是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 3 = ∠ 4$ C、 $∠ 2 + ∠ 4 = 180^{\circ}$ D、 $∠ 1 + ∠ 4 = 180^{\circ}$

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5. 数据1、10、6、4、7、4的中位数是（）．

A、9 B、6 C、5 D、4

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6. 观察下列图形，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点为60°角与直尺交点，点 $B$ 为光盘与直尺唯一交点，若 $A B = 3$ ，则光盘的直径是（）．

A、 B、 C、6 D、3

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8. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 3 > 0 \\ x - 2 \leq 0 \end{array}$ 的解集是（）．

A、 $x \geq - 3$ B、 $x \leq 2$ C、 $x < 2$ D、 $- 3 < x \leq 2$

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9. 关于抛物线 $g (x) = x^{2} + b x + 2$ ，下列说法错误的是（）．

A、开口向上 B、与 $x$ 轴只有一个交点 C、对称轴是直线 $x = 1$ D、当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大

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10. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为（）个．

A、1835 B、1836 C、1838 D、1842

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二、填空题

11. 据有关部门统计，2019年“清明节”期间，广东各大景点共接待游客约14420000人次，将数14420000用科学记数法表示为．

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12. 分解因式： $m^{3} - 4m =$ ．

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13. 我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有 $x$ 人，则可列方程为．

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14. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点.已知FG＝2，则线段AE的长度为.

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15. 如图，点 $P$ 为等边 $△ A B C$ 内一点，若 $P C = 3$ ， $P B = 4$ ， $P A = 5$ ，则 $∠ B P C$ 的度数是．

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16. 如图，点 $A$ 、 $B$ 是函数 $y = \frac{12}{x}$ 上两点，点 $P$ 为一动点，作 $P B ∥ y$ 轴， $P A ∥ x$ 轴，下列结论：① $Δ A O P$ ≌ $Δ B O P$ ；② $S_{Δ A O P} = S_{Δ B O P}$ ；③若 $O A = O B$ ，则 $O P$ 平分 $∠ A O B$ ；④若 $S_{Δ B O P} = 4$ ，则 $S_{Δ A B P} = 16$ ．其中正确序号是（把你认为正确都填上）．

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三、解答题

17. 计算： $| - 3 | - \sqrt{16} - {(1 - \sqrt{2})}^{0} + 6 sin 30^{°}$

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18. 如图，点 $C$ 是线段 $B D$ 的中点， $A B ∥ E C$ ， $∠ A = ∠ E$ ．求证： $A B = E C$ ．

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19. 已知 $A = \frac{a}{b (a - b)} - \frac{b}{a (a - b)}$ ．

(1)、化简 $A$ ；

(2)、如果 $a$ 、 $b$ 是方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 的两个根，求 $A$ 的值．

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20. 如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：
A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．

根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、请你补全条形统计图；

(2)、在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角的度数；

(3)、为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学担任生活监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率．

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21. 如图，点 $A$ 是反比例函数 $y_{1} = \frac{4}{x}$ 与一次函数 $y_{2} = k x + b$ 在 $x$ 轴上方的图象的交点，过点 $A$ 作 $A C ⊥ x$ 轴，垂足是点 $C$ ， $A C = O C$ ．一次函数 $y_{2} = k x + b$ 的图象与 $y$ 轴的正半轴交于点 $B$ ．

(1)、求点 $A$ 的坐标；

(2)、若梯形 $A B O C$ 的面积是3，求一次函数 $y_{2} = k x + b$ 的解析式；

(3)、结合这两个函数的完整图象：当 $y_{1} > y_{2}$ 时，写出 $x$ 的取值范围．

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22. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.

(1)、第一批饮料进货单价多少元？

(2)、若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $O$ 是 $B C$ 上一点．

(1)、尺规作图：作 $⊙ O$ ，使 $⊙ O$ 与 $A C$ 、 $A B$ 都相切．（不写作法与证明，保留作图痕迹）

(2)、若 $⊙ O$ 与 $A B$ 相切于点D，与 $B C$ 的另一个交点为点 $E$ ，连接 $C D$ 、 $D E$ ，求证： $D B^{2} = B C \cdot B E$ ．

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24. 如图，已知顶点为 $C (0 ， - 3)$ 的抛物线 $y = a x^{2} + b (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $y = x + m$ 过顶点 $C$ 和点 $B$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求函数 $y = a x^{2} + b (a \neq 0)$ 的解析式；

(3)、抛物线上是否存在点 $M$ ，使得 $∠ M C B = 15 °$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 如图①，在四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B D$ 于点 $E$ ， $A B = A C = B D$ ，点 $M$ 为 $B C$ 中点， $N$ 为线段 $A M$ 上的点，且 $M B = M N$ ．

(1)、求证： $B N$ 平分 $∠ A B E$ ；

(2)、若 $B D = 1$ ，连接 $D N$ ，当四边形 $D N B C$ 为平行四边形时，求线段 $B C$ 的长；

(3)、若点 $F$ 为 $A B$ 的中点，连接 $F N$ 、 $F M$ （如图②），求证： $∠ M F N = ∠ B D C$ ．

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