陕西省2020年高三理数教学质量检测卷（一)

试卷更新日期：2020-03-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $z = 4 + 3 i$ ，则在复平面内 $\frac{1}{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x + 5 > 0}$ ， $B = {x | \frac{x + 2}{x - 3} \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 3)$ B、 $[- 2, 3]$ C、 $[- 2, 3)$ D、 $\emptyset$

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3. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2}} + 1$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减 B、是非奇非偶函数，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减 C、是偶函数，在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增 D、是偶函数，在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递减

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4. 《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（）

A、乙分8两，丙分8两，丁分8两 B、乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱 C、乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱 D、乙分9两，丙分8两，丁分7两

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5. 执行如图所示的程序框图，则 $f (3) + f (6) =$ （）

A、45 B、35 C、147 D、75

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6. 某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n的值为（）

A、20 B、22 C、23 D、26

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7. 设 $a = 3^{0.1}, b = \log_{0.3} 0.5, c = \log_{5} 0.3$ ，则a ， b ， c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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8. 在 ${(2 + x)}^{6} {(1 + y)}^{m}$ 的展开式中，令 $x^{3} y$ 的系数为800，则含 $x y^{4}$ 项的系数为（）

A、30 B、960 C、300 D、360

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9. 已知抛物线 $y^{2} = - 4 x$ 的焦点为F ，过点F的直线 $l$ 交抛物线于M ， N两点，直线 $x = 4$ 与 $M O$ ， $N O$ 的延长线交于P ， Q两点，则 $S_{Δ M O N} : S_{Δ P O Q} =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{16}$

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10. 将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $y^{'} = f (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）
①函数 $y^{'} = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称；②函数 $y^{'} = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称；③函数 $y^{'} = f (x)$ 的图象在区间 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$ 上单调递减；④函数 $y^{'} = f (x)$ 的图象在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3})$ 上单调递增.

A、①④ B、②③ C、①③ D、②（④

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11. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 $\frac{10}{3}$ ，则棱长为a的正方体的外接球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $14 π$ C、 $4 \sqrt{3} π$ D、 $16 π$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + b x + 1$ 在 $x = 1$ 处有极值，设函数 $F (x) = f (x) - (a - \frac{3}{2}) x^{2}$ ，且 $F (x)$ 在区间 $(2 ， 3)$ 内不单调，则a的取值范围为（）

A、 $(\frac{3}{2} ， \frac{11}{3})$ B、 $(\frac{3}{2} ， \frac{11}{6})$ C、 $(\frac{3}{4} ， \frac{11}{3})$ D、 $(\frac{3}{2} ， \frac{8}{3})$

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二、填空题

13. 已知 $\overset{⇀}{a} = (3, 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 4, 2 t^{2} + 3)$ ，若 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = - 9$ ，则 $cos< \overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b} > =$ .

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14. 函数 $f (x) = \sqrt{x} \ln x + a$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线被圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ 截得弦长为2，则实数a的值为.

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15. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上存在两点A ， B关于直线 $y = x - 8$ 对称，且线段 $A B$ 的中点在直线 $x - 2 y - 14 = 0$ 上，则双曲线的离心率为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n} = \log_{b_{n}} c_{n} (n ⩾ 2)$ ，当 $n \geq 2$ 时， $b_{n} = n$ ，且点 $(b_{n}, c_{n})$ 是直线 $y = x + 1$ 上的点，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为；令 $y = a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \dots a_{k}$ ，则当k在区间 $[1, 2019]$ 内时，使y的值为正整数的所有k值之和为.

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三、解答题

17. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $\sin ∠ B A D = \frac{3 \sqrt{3}}{14}$ ， $\cos ∠ A D C = \frac{1}{7}$ ， $A D = 7$ ， $A C = 8$ ，D在 $B C$ 边上，连接 $A D$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、求 $Δ A C D$ 的面积.

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18. 2019年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手A ， B ， C ， D ， E依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立.赛会釆用5局3胜制，先赢3局者获得胜利.

(1)、在决赛中，中国队以3∶1获胜的概率是多少？

(2)、求比赛局数的分布列及数学期望.

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19. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为直角梯形， $∠ A D C$ 为直角， $A P ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B C ： A D ： C D = 5 ： 4 ： 2$ ，且 $C D = 1$ .

(1)、求证： $B P ⊥ A C$ ；

(2)、若 $A P = C D$ ，求二面角 $D - P C - B$ 的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$ .

(1)、证明：当 $x > 1$ 时， $f (x) < g (x)$ ；

(2)、存在 $x_{0} > 1$ ，使得当 $x \in (1 ， x_{0})$ 时恒有 $f (x) - g (x) > (k - 1) (x - 1)$ 成立，试确定k的取值范围.

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21. 设椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，O为坐标原点，A为椭团的上顶点， $B (\sqrt{2}, 0)$ 为其右焦点，D是线段 $A B$ 的中点，且 $O D ⊥ A B$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C于P ， Q两点，分别作 $P E ⊥ x$ 轴， $Q F ⊥ x$ 轴，垂足分别为E ， F ，连接 $Q E$ ， $P F$ 并延长交椭圆C于点M ， N两点.
（ⅰ）判断 $Δ P Q M$ 的形状；

（ⅱ）求四边形 $P M Q N$ 面积的最大值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{- 1 + t}{1 + t}, \\ y = \frac{t}{1 + t} \end{array}$ （t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{12}{3 + \sin^{2} θ}$ .

(1)、求 $l$ 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、求曲线C上的点到 $l$ 距离的最大值及该点坐标.

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23. 设函数 $f (x) = | x - a | - 2 | x + 1 |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 的最大值为3，求 $a$ 的值.

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