上海市杨浦区2020届高三数学第一次模拟（期末)试卷

试卷更新日期：2020-03-28 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知 $a, b$ 为非零实数，且 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $| a | > | b |$ D、 $2^{a} > 2^{b}$

查看试题解析
2. 要得到函数 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只要将 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

查看试题解析
3. 设 $z_{1} ， z_{2}$ 为复数，则下列命题中一定成立的是（）

A、如果 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，那么 $z_{1} > z_{2}$ B、如果 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，那么 $z_{1} = \pm z_{2}$ C、如果 $| \frac{z_{1}}{z_{2}} | > 1$ ，那么 $| z_{1} | > | z_{2} |$ D、如果 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，那么 $z_{1} = z_{2} = 0$

查看试题解析
4. 对于全集 $U$ 的子集 $A$ 定义函数 $f_{A} (x) = {\begin{matrix} 1 & (x \in A) \\ 0 & (x \in ∁_{U} A) \end{matrix}$ 为 $A$ 的特征函数，设 $A ， B$ 为全集 $U$ 的子集，下列结论中错误的是（）

A、若 $A \subseteq B ，$ 则 $f_{A} (x) \leq f_{B} (x)$ B、 $f_{∁_{R}}_{A} (x) = 1 - f_{A} (x)$ C、 $f_{A \cap B} (x) = f_{A} (x) \cdot f_{B} (x)$ D、 $f_{A \cup B} (x) = f_{A} (x) + f_{B} (x)$

查看试题解析

二、填空题

5. 函数 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ 的定义域为.

查看试题解析
6. 关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 1 \\ x + 3 y = 0 \end{array}$ 的增广矩阵为

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x)$ 的反函数 $f^{- 1} (x) = \log_{2} x$ ，则 $f (- 1) =$

查看试题解析
8. 设 $a \in R, a^{2} - a - 2 + (a + 1) i$ 为纯虚数( $i$ 为虚数单位),则 $a =$ .

查看试题解析
9. 已知圆锥的底面半径为 $1 c m$ ，侧面积为 $2 π c m^{2}$ ，则母线与底面所成角的大小为.

查看试题解析
10. 已知 ${(1 + a x)}^{7}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 项的系数等于280，则实数 $a =$ .

查看试题解析
11. 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点为 $F_{1}, F_{2} ， P$ 为椭圆上一点,若 $| P F_{1} | = 5$ ,则 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} =$ .

查看试题解析
12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = {\begin{matrix} n & (n \leq 2) \\ {(\frac{1}{2})}^{n - 1} & (n \geq 3) \end{matrix} (n \in N^{*})$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $\lim_{n \to + \infty} S_{n} =$ .

查看试题解析
13. 在直角坐标平面 $x O y$ 中， $A (- 2, 0 ）, B （ 0, 1)$ ，动点 $P$ 在圆 $C : x^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为.

查看试题解析
14. 已知六个函数：① $y = \frac{1}{x^{2}}$ ；② $y = \cos x$ ；③ $y = x^{\frac{1}{2}}$ ；④ $y = \arcsin x$ ；⑤ $y = \lg (\frac{1 + x}{1 - x})$ ；⑥ $y = x + 1$ ，从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有种.

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = | 1 - \frac{1}{x} | (x > 0)$ ，若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} + m f (x) + 2 m + 3 = 0$ 有三个不相等的实数解，则实数 $m$ 的取值范围为.

查看试题解析
16. 向量集合 $S = {\overset{⇀}{a} | \overset{⇀}{a} = (x, y), x, y \in R}$ ,对于任意 $α, β \in S$ ,以及任意 $λ \in (0, 1)$ ,都有 $λ α + (1 - λ) β \in S$ ,则称 $S$ 为“ $C$ 类集”,现有四个命题:
①若 $S$ 为“ $C$ 类集”,则集合 $M = {μ \overset{⇀}{a} | \overset{⇀}{a} \in S, μ \in R}$ 也是“ $C$ 类集”;

②若 $S$ , $T$ 都是“ $C$ 类集”,则集合 $M = {\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | \overset{⇀}{a} \in S, \overset{⇀}{b} \in T}$ 也是“ $C$ 类集”;

③若 $A_{1}, A_{2}$ 都是“ $C$ 类集”,则 $A_{1} \cup A_{2}$ 也是“ $C$ 类集”;

④若 $A_{1}, A_{2}$ 都是“ $C$ 类集”,且交集非空,则 $A_{1} \cap A_{2}$ 也是“ $C$ 类集”.

其中正确的命题有(填所有正确命题的序号)

查看试题解析

三、解答题

17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = P A = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $F ， F$ 分别为棱 $P D ， P A$ 的中点.

(1)、求证： $B$ 、 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 四点共面；

(2)、求异面直线 $P B$ 与 $A E$ 所成的角.

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}}$ 其中 $a$ 为实常数.

(1)、若 $f (0) = 7$ ，解关于 $x$ 的方程 $f (x) = 5$ ；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由.

查看试题解析
19. 东西向的铁路上有两个道口 $A$ 、 $B$ ，铁路两侧的公路分布如图， $C$ 位于 $A$ 的南偏西 $15^{°}$ ，且位于 $B$ 的南偏东 $15^{°}$ 方向， $D$ 位于 $A$ 的正北方向， $A C = A D = 2 k m$ ， $C$ 处一辆救护车欲通过道口前往 $D$ 处的医院送病人，发现北偏东 $45^{°}$ 方向的 $E$ 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要 $1$ 分钟，救护车和火车的速度均为 $60 k m / h$ .

(1)、判断救护车通过道口 $A$ 是否会受火车影响，并说明理由；

(2)、为了尽快将病人送到医院，救护车应选择 $A$ 、 $B$ 中的哪个道口？通过计算说明.

查看试题解析
20. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ 是第一象限内抛物线 $C$ 上的一点，点 $D$ 的坐标为 $(t ， 0) (t > 0)$

(1)、若 $| O A | = \sqrt{5}$ ，求点 $A$ 的坐标；

(2)、若 $Δ A F D$ 为等腰直角三角形，且 $∠ F A D = 90^{\circ}$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、弦 $A B$ 经过点 $D$ ，过弦 $A B$ 上一点 $P$ 作直线 $x = - t$ 的垂线，垂足为点 $Q$ ，求证：“直线 $Q A$ 与抛物线相切”的一个充要条件是“ $P$ 为弦 $A B$ 的中点”.

查看试题解析
21. 已知无穷数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若对于任意的正整数 $n$ ，均有 $S_{2 n - 1} \geq 0 ， S_{2 n} \leq 0$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 具有性质 $P$ .

(1)、判断首项为 $1$ ，公比为 $- 2$ 的无穷等比数列 ${a_{n}}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

(2)、已知无穷数列 ${a_{n}}$ 具有性质 $P$ ，且任意相邻四项之和都相等，求证： $S_{4} = 0$ ；

(3)、已知 $b_{n} = 2 n - 1 (n \in N^{*})$ ，数列 ${c_{n}}$ 是等差数列， $a_{n} = {\begin{matrix} b_{n + 1} & (n 为奇数) \\ c_{\frac{n}{2}} & (n 为偶数) \end{matrix}$ ，若无穷数列 ${a_{n}}$ 具有性质 $P$ ，求 $c_{2019}$ 的取值范围.

查看试题解析