上海市青浦区2020届高三数学一模（期末)试卷

试卷更新日期：2020-03-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 使得（3x+ $\frac{1}{x \sqrt{x}}$ ）ⁿ（n∈N₊）的展开式中含有常数项的最小的n为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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2. 对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面 $α$ ， $β$ ，以下结论正确的是（）

A、若 $m ⊊ α$ ， $n ∥ β$ ，m，n是异面直线，则 $α$ ， $β$ 相交 B、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $n ∥ α$ ，则 $n ∥ β$ C、若 $m ⊊ α$ ， $n ∥ α$ ，m，n共面于 $β$ ，则 $m ∥ n$ D、若， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α$ ， $β$ 不平行，则m，n为异面直线

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3. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点作两条相互垂直的弦 $A B$ 和 $C D$ ，则 $\frac{1}{| A B |} + \frac{1}{| C D |}$ 的值为（）

A、 $\frac{p}{2}$ B、 $\frac{2}{p}$ C、 $2 p$ D、 $\frac{1}{2 p}$

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4. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，其前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，并且满足条件： $a_{1} > 1$ ， $a_{2019} a_{2020} > 1$ ， $\frac{a_{2019} - 1}{a_{2020} - 1} < 0$ ，给出下列结论：① $0 < q < 1$ ；② $a_{2019} a_{2021} - 1 > 0$ ；③ $T_{2019}$ 是数列 ${T_{n}}$ 中的最大项；④使 $T_{n} > 1$ 成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（）

A、①② B、①③ C、①③④ D、①②③④

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二、填空题

5. 已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁_U(A∪B)＝.

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6. 若复数 $z = i (3 - 2 i)$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z$ 的模为

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7. 直线 $l_{1} : x - 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : \sqrt{3} x - y = 0$ 的夹角大小是

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8. 我国古代庄周所著的《庄子 $\cdot$ 天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去.若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第 $n$ 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为 $a_{n}$ ，则 $a_{n} =$

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9. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，角 $α$ 的终边与单位圆的交点坐标是 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，则 $\sin 2 α =$

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10. 已知正四棱柱底面边长为 $2 \sqrt{2}$ ，体积为32，则此四棱柱的表面积为

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11. 设 $x, y \in R_{+}$ ，若 $4 x + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $\frac{x}{y}$ 的最大值为

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} - a_{n - 1} = \frac{1}{2^{n + 1}}$ （ $n \in N^{*}$ ），则 $\lim_{n \to \infty} a_{n} =$

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13. 某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种

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14. 已知对于任意给定的正实数 $k$ ，函数 $f (x) = 2^{x} + k \cdot 2^{- x}$ 的图像都关于直线 $x = m$ 成轴对称图形，则 $m =$

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15. 如图，一矩形 $A B C D$ 的一边 $A B$ 在 $x$ 轴上，另两个顶点 $C$ 、 $D$ 在函数 $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ ， $x > 0$ 的图像上，则此矩形绕 $x$ 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是

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16. 已知点 $P$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上，点 $A$ 满足 $\vec{P A} = (t - 1) \vec{O P}$ （ $t \in R$ ），且 $\vec{O A} \cdot \vec{O P} = 60$ ， $\vec{O B} = (0 ， 1)$ ，则 $| \vec{O B} \cdot \vec{O A} |$ 的最大值为

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三、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点.已知 $A B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ .

求：

(1)、三角形 $P C D$ 的面积；

(2)、异面直线 $B C$ 与 $A E$ 所成的角的大小.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} \cos ω x, \sin ω x)$ ， $\vec{b} = (\cos ω x, \cos ω x)$ ，其中 $ω > 0$ ，记 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $ω$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，已知△ $A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 对应的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $f (\frac{A}{2}) = \sqrt{3}$ ，且 $a = 4$ ， $b + c = 5$ ，求△ $A B C$ 的面积.

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19. 某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第 $n$ 个月的利润是 $f (n) = {\begin{matrix} 10 & 1 \leq n \leq 10, n \in N^{*} \\ n & 11 \leq n \leq 60, n \in N^{*} \end{matrix}$ （单位：万元），记第 $n$ 个月的当月利润率为 $g (n) =$ $\frac{第 n 个月的利润}{截止到第 n 个月投入的资金总和}$ ，例 $g (3) = \frac{f (3)}{50 + (f (1) + f (2)) \times 10 %}$ .

(1)、求第 $n$ 个月的当月利润率；

(2)、求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率.

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20. 已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $C$ 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆 $C$ 经过点 $(3, \frac{16}{5})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 作与 $x$ 轴垂直的直线 $l_{1}$ ，直线 $l_{1}$ 上存在 $M$ 、 $N$ 两点满足 $O M ⊥ O N$ ，求△ $O M N$ 面积的最小值；

(3)、若与 $x$ 轴不垂直的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $x$ 轴于定点 $M$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $N$ ，且 $\frac{| A B |}{| M N |}$ 为定值，求点 $M$ 的坐标.

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21. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，且 $f (x)$ 的图像连续不间断，若函数 $f (x)$ 满足：对于给定的实数 $m$ 且 $0 < m < 2$ ，存在 $x_{0} \in [0, 2 - m]$ ，使得 $f (x_{0}) = f (x_{0} + m)$ ，则称 $f (x)$ 具有性质 $P (m)$ .

(1)、已知函数 $f (x) = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ ，判断 $f (x)$ 是否具有性质 $P (\frac{1}{2})$ ，并说明理由；

(2)、求证：任取 $m \in (0, 2)$ ，函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ ， $x \in [0, 2]$ 具有性质 $P (m)$ ；

(3)、已知函数 $f (x) = \sin π x$ ， $x \in [0, 2]$ ，若 $f (x)$ 具有性质 $P (m)$ ，求 $m$ 的取值范围.

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