上海市普陀区2020届高考数学一模试卷

试卷更新日期：2020-03-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. “ $m \in {1, 2}$ ”是“ $\ln m < 1$ ”成立的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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2. 设集合 $A = {x | | x - a | = 1}$ ， $B = {1, - 3, b}$ ，若 $A$ ⊆ $B$ ，则对应的实数对 $(a, b)$ 有（）

A、 $1$ 对 B、 $2$ 对 C、 $3$ 对 D、 $4$ 对

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3. 已知两个不同平面 $α$ ， $β$ 和三条不重合的直线 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列命题中正确的是（）

A、若 $a / / α$ ， $α \cap β = b$ ，则 $a / / b$ B、若 $a$ ， $b$ 在平面 $α$ 内，且 $c ⊥ a$ ， $c ⊥ b$ ，则 $c ⊥ α$ C、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与 $a$ ， $b$ ， $c$ 都相交 D、若 $α$ ， $β$ 分别经过两异面直线 $a$ ， $b$ ，且 $α \cap β = c$ ，则 $c$ 必与 $a$ 或 $b$ 相交

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4. 若直线 $l$ ： $\frac{2 x}{2 b + a} + \frac{y}{a + b} = 1$ 经过第一象限内的点 $P (\frac{1}{a}, \frac{1}{b})$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $4 - 2 \sqrt{2}$ C、 $5 - 2 \sqrt{3}$ D、 $6 - 3 \sqrt{2}$

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二、填空题

5. 若抛物线 $y^{2} = m x$ 的焦点坐标为 $(\frac{1}{2}, 0)$ ，则实数 $m$ 的值为.

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6. $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n + 1} + 2^{n}}{3^{n} + 1} =$ .

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7. 不等式 $\frac{1}{x} > 1$ 的解集是

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8. 设 $i$ 是虚数单位，若 $z = \frac{1}{1 + i} + a i$ 是实数，则实数 $a =$

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9. 设函数 $f (x) = \log_{a} (x + 4)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若其反函数的零点为 $2$ ，则 $a =$ .

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10. $(1 + \frac{1}{x^{3}}) {(1 - x)}^{6}$ 展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为（结果用数值表示）.

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11. 各项都不为零的等差数列 ${a_{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ）满足 $a_{2} - 2 a_{8}^{2} + 3 a_{10} = 0$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{8} = b_{8}$ ，则 $b_{4} b_{9} b_{11} =$ .

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12. 设椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ，直线 $l$ 过 $Γ$ 的左顶点 $A$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，交 $Γ$ 于点 $Q$ ，若 $Δ A O P$ 是等腰三角形（ $O$ 为坐标原点），且 $\vec{P Q} = 2 \vec{Q A}$ ，则 $Γ$ 的长轴长等于.

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13. 记 $a, b, c, d, e, f$ 为 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 的任意一个排列，则 $(a + b) (c + d) (e + f)$ 为偶数的排列的个数共有.

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14. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + 8 x + 15) (a x^{2} + b x + c)$ $(a, b, c \in R)$ 是偶函数，若方程 $a x^{2} + b x + c = 1$ 在区间 $[1, 2]$ 上有解，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 设 $P$ 是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正六边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ 的边上的任意一点，长度为 $4$ 的线段 $M N$ 是该正六边形外接圆的一条动弦，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围为.

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16. 若 $M$ 、 $N$ 两点分别在函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图像上，且关于直线 $x = 1$ 对称，则称 $M$ 、 $N$ 是 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的一对“伴点”（ $M$ 、 $N$ 与 $N$ 、 $M$ 视为相同的一对）.已知 $f (x) = {\begin{matrix} - \sqrt{2 - x} (x < 2) \\ \sqrt{4 - {(x - 4)}^{2}} (x \geq 2) \end{matrix}$ ， $g (x) = | x + a | + 1$ ，若 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 存在两对“伴点”，则实数 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 如图所示的三棱锥 $P - A B C$ 的三条棱 $P A$ ， $A B$ ， $A C$ 两两互相垂直， $A B = A C = 2 P A = 2$ ，点 $D$ 在棱 $A C$ 上，且 $\vec{A D} = λ \vec{A C}$ ( $λ > 0$ ).

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，求异面直线 $P D$ 与 $B C$ 所成角的大小；

(2)、当三棱锥 $D - P B C$ 的体积为 $\frac{2}{9}$ 时，求 $λ$ 的值.

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18. 设函数 $f (x) = | \begin{matrix} 2^{x} & 2^{- x} \\ a & 1 \end{matrix} |$ .

(1)、当 $a = - 4$ 时，解不等式 $f (x) < 5$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[2 ， + \infty)$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地 $A O B$ 进行改建.如图所示，平行四边形 $O M P N$ 区域为停车场，其余部分建成绿地，点 $P$ 在围墙 $A B$ 弧上，点 $M$ 和点 $N$ 分别在道路 $O A$ 和道路 $O B$ 上，且 $O A =6 0$ 米， $∠ A O B = 60 °$ ，设 $∠ P O B = θ$ ．

(1)、求停车场面积 $S$ 关于 $θ$ 的函数关系式，并指出 $θ$ 的取值范围；

(2)、当 $θ$ 为何值时，停车场面积 $S$ 最大，并求出最大值（精确到 $0.1$ 平方米）.

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20. 已知双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为 $4$ ，直线 $l ： x - m y - 4 = 0$ （ $m \in R$ ）与 $Γ$ 交于两个不同的点 $D$ 、 $E$ ，且 $m = 0$ 时直线 $l$ 与 $Γ$ 的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.

(1)、求双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、若坐标原点 $O$ 在以线段 $D E$ 为直径的圆的内部，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、设 $A$ 、 $B$ 分别是 $Γ$ 的左、右两顶点，线段 $B D$ 的垂直平分线交直线 $B D$ 于点 $P$ ，交直线 $A D$ 于点 $Q$ ，求证：线段 $P Q$ 在 $x$ 轴上的射影长为定值.

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21. 数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = a$ ， $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和（ $n \in N^{*}$ ）.

(1)、设数列 ${b_{n}}$ 是首项和公比都为 $- \frac{1}{3}$ 的等比数列，且数列 ${a_{n}}$ 也是等比数列，求 $a$ 的值；

(2)、设 $b_{n + 1} - b_{n} = 2^{n} - 1$ ，若 $a = 3$ 且 $a_{n} \geq a_{4}$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立，求 $a_{2}$ 的取值范围；

(3)、设 $a = 4$ ， $b_{n} = 2$ ， $C_{n} = \frac{S_{n} + 2 λ}{2^{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ， $λ \geq - 2$ ），若存在整数 $k$ ， $l$ ，且 $k > l > 1$ ，使得 $C_{k} = C_{l}$ 成立，求 $λ$ 的所有可能值.

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