上海市闵行区2020届数学高考一模（期末)试卷

试卷更新日期：2020-03-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知直线 $l$ 的斜率为 $2$ ，则直线 $l$ 的法向量为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(1, - 2)$ D、 $(2, - 1)$

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2. 命题“若 $x > a$ ，则 $\frac{x - 1}{x} > 0$ ”是真命题，实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0]$

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3. 在正四面体 $A - B C D$ 中，点 $P$ 为 $Δ B C D$ 所在平面上的动点，若 $A P$ 与 $A B$ 所成角为定值 $θ ， θ \in (0 ， \frac{π}{4})$ ，则动点 $P$ 的轨迹是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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4. 已知各项为正数的非常数数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{1}^{a_{n}}$ ，有以下两个结论:①若 $a_{3} > a_{2}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是递增数列；②数列 ${a_{n}}$ 奇数项是递增数列则（）

A、①对②错 B、①错②对 C、①②均错误 D、①②均正确

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二、填空题

5. 已知集合 $A = {- 3, - 1, 0, 1, 2}, B = {x | | x | > 1}$ ，则 $A \cap B =$ .

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6. 复数 $\frac{5}{i - 2}$ 的共轭复数是.

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7. 计算： $\lim_{n \to \infty} \frac{3 n^{2}}{1 + 3 + \dots + (2 n + 1)} =$ .

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8. 已知 $0 < x < 1$ ，使得 $\sqrt{x (1 - x)}$ 取到最大值时， $x =$ .

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9. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $G$ 为 $Δ A B C$ 的重心，用向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示向量 $\vec{A G} =$

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10. 设函数 $f (x) = | \begin{array}{l} \log_{2} (x - 1) \\ \log_{2} x \end{array}$ $\begin{array}{l} - 1 \\ 1 \end{array} |$ ，则方程 $f (x) = 1$ 的解为

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11. 已知 ${(x^{2} - 1)}^{8} = a_{0} + a_{1} x^{2} + a_{2} x^{4} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} x^{16}$ ，则 $a_{3} =$ （结果用数字表示）

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12. 若首项为正数的等比数列 ${a_{n}}$ ，公比 $q = \lg x$ ，且 $a_{100} < a_{99} < a_{101}$ ，则实数 $x$ 的取值范围是

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13. 如图，在三棱锥 $D - A E F$ 中， $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ 分别是 $D A ， D E ， D F$ 的中点， $B ， C$ 分别是 $A E ， A F$ 的中点，设三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $V_{1}$ ，三棱锥 $D - A E F$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $V_{1} ： V_{2} =$

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14. 若 $O$ 是正六边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ 的中心， $Q = {\overset{⇀}{O A_{i}} | i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} ， \vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c} \in Q$ ，且 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 互不相同，要使得 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$ ，则有序向量组 $(\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c})$ 的个数为

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15. 若 $f (x) = | x - a | \cdot | x - 3 a |$ ，且 $x \in [0 ， 1]$ 上的值域为 $[0 ， f (1)]$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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16. 设函数 $f (x) = A s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0 ， A > 0) ， x \in [0 ， 2 π]$ ，若 $f (x)$ 恰有 $4$ 个零点，.
则下述结论中：

①若 $f (x_{0}) \geq f (x)$ 恒成立，则 $x_{0}$ 的值有且仅有 $2$ 个；

② $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{8 π}{19}]$ 上单调递增；

③存在 $ω$ 和 $x_{1}$ ，使得 $f (x_{1}) \leq f (x) \leq f (x_{1} + \frac{π}{2})$ 对任意 $x \in [0 ， 2 π]$ 恒成立；

④“ $A \geq 1$ ”是“方程 $f (x) = - \frac{1}{2}$ 在 $[0 ， 2 π] 内$ 恰有五个解”的必要条件.

所有正确结论的编号是；

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三、解答题

17. 如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上)，圆锥的母线长为 $4 ， A B ， C D$ 是底面的两条直径，且 $A B = 4 ， A B ⊥ C D$ ，圆柱与圆锥的公共点 $F$ 恰好为其所在母线 $P A$ 的中点，点 $O$ 是底面的圆心.

(1)、求圆柱的侧面积；

(2)、求异面直线 $O F$ 和 $P C$ 所成的角的大小.

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18. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}}$

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) < 3$ 在 $x \in [1, 3]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 某地实行垃圾分类后，政府决定为 $A ， B ， C$ 三个小区建造一座垃圾处理站M，集中处理三个小区的湿垃圾.已知 $A$ 在 $B$ 的正西方向， $C$ 在 $B$ 的北偏东 $30^{\circ}$ 方向， $M$ 在 $B$ 的北偏西 $20^{\circ}$ 方向，且在 $C$ 的北偏西 $45^{\circ}$ 方向，小区 $A$ 与 $B$ 相距 $2 k m ， B$ 与 $C$ 相距 $3 k m$ .

(1)、求垃圾处理站 $M$ 与小区 $C$ 之间的距离；

(2)、假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里 $a$ 元，一辆小车的行车费用为每公里 $λ a$ 元(其中 $λ$ 为满足 $100 λ$ 是 $1 - 99$ 内的正整数) .现有两种运输湿垃圾的方案：
方案1：只用一辆大车运输，从 $M$ 出发，依次经 $A ， B ， C$ 再由 $C$ 返回到 $M$ ；

方案2：先用两辆小车分别从 $A 、 C$ 运送到 $B$ ，然后并各自返回到 $A 、 C$ ，一辆大车从 $M$ 直接到 $B$ 再返回到 $M$ .试比较哪种方案更合算?请说明理由. 结果精确到小数点后两位

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20. 已知抛物线 $Γ ： y^{2} = 8 x$ 和圆 $Ω ： x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，抛物线 $Γ$ 的焦点为 $F$ .

(1)、求 $Ω$ 的圆心到 $Γ$ 的准线的距离；

(2)、若点 $T (x ， y)$ 在抛物线 $Γ$ 上，且满足 $x \in [1 ， 4]$ ，过点 $Γ$ 作圆 $Ω$ 的两条切线，记切点为 $A 、 B$ ，求四边形 $T A F B$ 的面积的取值范围；

(3)、如图，若直线 $l$ 与抛物线 $Γ$ 和圆 $Ω$ 依次交于 $M 、 P 、 Q 、 N$ 四点，证明： $| M P | = | Q N | = \frac{1}{2} | P Q |$ 的充要条件是“直线 $l$ 的方程为 $x = 2$ ”

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = a (a > 1) ， | a_{n + 2} - a_{n + 1} | = | a_{n + 1} - a_{n} | + d ， n \in N^{*}$

(1)、当 $d = a = 2$ 时，写出 $a_{4}$ 所有可能的值；

(2)、当 $d = 1$ 时，若 $a_{2 n} > a_{2 n - 1}$ 且 $a_{2 n} > a_{2 n + 1}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 ${a_{2 n}} ， {a_{2 n - 1}}$ 分别构成等差数列，求 $S_{2 n}$ .

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