上海市宝山区2020届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2020-03-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{x} + a$ 在区间 $(1 ， e)$ 上存在零点，则常数a的取值范围为（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $\frac{1}{e} < a < 1$ C、 $\frac{1}{e} - 1 < a < 1$ D、 $\frac{1}{e} + 1 < a < 1$

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2. 下列函数是偶函数，且在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \log_{2} (4^{x} + 1) - x$ B、 $f (x) = | x | - 2 \cos x$ C、 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}$ D、 $f (x) = 10^{| \lg x |}$

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3. 已知 $α, β, γ$ 平面两两垂直，直线 $a 、 b 、 c$ 满足： $a \subseteq α, b \subseteq β, c \subseteq γ$ ，则直线 $a 、 b 、 c$ 不可能满足以下哪种关系（）

A、两两垂直 B、两两平行 C、两两相交 D、两两异面

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4. 提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下： $a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + φ)$ ， $- π < φ < π$ ，下列判断错误的是（）

A、当 $a > 0$ ， $b > 0$ 时，辅助角 $φ = \arctan \frac{b}{a}$ B、当 $a > 0$ ， $b < 0$ 时，辅助角 $φ = \arctan \frac{b}{a} + π$ C、当 $a < 0$ ， $b > 0$ 时，辅助角 $φ = \arctan \frac{b}{a} + π$ D、当 $a < 0$ ， $b < 0$ 时，辅助角 $φ = \arctan \frac{b}{a} - π$

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二、填空题

5. 若 $z (1 + i) = 2 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z | =$ ．

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6. 已知 $| \begin{matrix} λ - 4 & 2 \\ - λ & 1 \end{matrix} | = 5$ ，则 $λ =$

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7. 函数 $y = 3^{x - 1}$ （ $x \leq 1$ ）的反函数是

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8. $2019$ 年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场球赛.

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9. 以抛物线 $y^{2} = - 6 x$ 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是

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10. 在 ${(1 - x)}^{5} (1 + x^{3})$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为

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11. 不等式 $| x - x^{2} - 2 | > x^{2} - 3 x - 6$ 的解集是

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12. 已知方程 $x^{2} - k x + 2 = 0$ （ $k \in R$ ）的两个虚根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，若 $| x_{1} - x_{2} | = 2$ ，则 $k =$

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13. 已知直线 $l$ 过点 $(- 1, 0)$ 且与直线 $2 x - y = 0$ 垂直，则圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 8 y = 0$ 与直线 $l$ 相交所得的弦长为。

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14. 有一个空心钢球，质量为 $142 g$ ，测得外直径为5 $c m$ ，则它的内直径是 $c m$ （钢的密度为7.9 $g / c m^{3}$ ，精确到0.1 $c m$ ）

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15. 已知 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 均是等差数列， $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，若 ${c_{n}}$ 前三项是7、9、9，则 $c_{10} =$

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16. 已知 $a > b > 0$ ，那么，当代数式 $a^{2} + \frac{16}{b (a - b)}$ 取最小值时，点 $P (a, b)$ 的坐标为

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三、解答题

17. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面四边形 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60^{°}$ ， $D D_{1} = 3$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求四棱锥 $C_{1} - E B C D$ 的体积；

(2)、求异面直线 $C_{1} E$ 和 $A D$ 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

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18. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos (\frac{π}{2} + x) + \sqrt{3} \sin x \cos x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及对称中心；

(2)、若 $f (x) = a$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个解 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围及 $x_{1} + x_{2}$ 的值.

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19. 一家污水处理厂有 $A 、 B$ 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水， $A$ 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%， $B$ 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.

(1)、 $A$ 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）

(2)、如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若 $A 、 B$ 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）

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20. 已知直线 $l ： x = t$ $(0 < t < 2)$ 与椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 相交于 $A 、 B$ 两点，其中 $A$ 在第一象限， $M$ 是椭圆上一点.

(1)、记 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $t \in (- \infty ， \frac{1}{2}]$ 的左右焦点，若直线 $A B$ 过 $F_{2}$ ，当 $M$ 到 $F_{1}$ 的距离与到直线 $A B$ 的距离相等时，求点 $M$ 的横坐标；

(2)、若点 $M 、 A$ 关于 $y$ 轴对称，当 $△ M A B$ 的面积最大时，求直线 $M B$ 的方程；

(3)、设直线 $M A$ 和 $M B$ 与 $x$ 轴分别交于 $P 、 Q$ ，证明： $| O P | \cdot | O Q |$ 为定值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = e$ （ $e$ 是自然对数的底数），且 $a_{n + 2} = \sqrt{a_{n + 1} \cdot a_{n}}$ ，令 $b_{n} = \ln a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）.

(1)、证明： $b_{n + 2} > \sqrt{b_{n + 1} b_{n}}$ ；

(2)、证明： ${\frac{b_{n + 2} - b_{n + 1}}{b_{n + 1} - b_{n}}}$ 是等比数列，且 ${b_{n}}$ 的通项公式是 $b_{n} = \frac{2}{3} [1 - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}]$ ；

(3)、是否存在常数 $t$ ，对任意自然数 $n \in N^{*}$ 均有 $b_{n + 1} \geq t b_{n}$ 成立？若存在，求 $t$ 的取值范围，否则，说明理由.

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