陕西省榆林市2020届高三理数模拟第一次测试试卷

试卷更新日期：2020-03-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设z=-3+2i，则在复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设集合 $A = {x | x^{2} - 5 x + 6 > 0}, B = {x | x^{2} - 1 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- \infty, - 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$

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3. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为 $[20 ， 40) ， [40 ， 60) ， [60 ， 80) ， [80 ， 100] .$ 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）

A、45 B、50 C、55 D、60

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4. 若 $0 < m < n$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2^{m} > 2^{n}$ B、 ${0.5}^{m} < {0.5}^{n}$ C、 $\log_{2} m > \log_{2} n$ D、 $\log_{0.5} m > \log_{0.5} n$

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5. 关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（）

A、甲 B、丙 C、甲与丙 D、甲与乙

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6. 已知向量 $\vec{m} = (λ + 1, 1)$ ， $\vec{n} = (λ + 2, 2)$ ，若 $(\vec{m} + \vec{n}) ⊥ (\vec{m} - \vec{n})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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7. 已知 $α \in (0 ， π)$ ， $2 \sin 2 α = \cos 2 α - 1$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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8. 对于函数 $f (x) = {\begin{matrix} \sin x ， \sin x \geq \cos x \\ \cos x ， \sin x < \cos x \end{matrix}$ ，给出下列四个命题：
①该函数的值域为 $[- 1 ， 1]$ ；②当且仅当 $x = 2 k π + \frac{π}{2} (k \in Z)$ 时，该函数取得最大值；③该函数是以 $π$ 为最小正周期的周期函数；④当且仅当 $2 k π + π < x < 2 k π + \frac{3 π}{2} (k \in Z)$ 时， $f (x) < 0$ .

上述命题中正确命题的个数为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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9. 已知偶函数 $f (x + \frac{π}{2})$ ，当 $x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 时， $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + \sin x$ ．设 $a = f (1)$ ， $b = f (2)$ ， $c = f (3)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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10. 若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且直线 $(m + 1) x + (n + 1) y - 2 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ 相切，则 $m + n$ 的取值范围是（）

A、 $[2 + \sqrt{2}, + \infty)$ B、 $[2 + 2 \sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(0, 2 + \sqrt{2}]$ D、 $(0, 2 + 2 \sqrt{2}]$

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11. 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的左右焦点， $A$ 为双曲线的左顶点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 $M, N$ 两点，且满足 $∠ M A N = 120^{\circ}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{19}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$

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12. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = 2 f (x)$ ，当 $x [0, 2]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - x, x \in [0, 1) \\ - {(\frac{1}{2})}^{| x - \frac{3}{2} |}, x \in [1, 2) \end{array}$ ，若当 $f (x) = x^{α}$ 时，不等式 $f (x) \geq \frac{m^{2}}{4} - m + \frac{1}{2}$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 3]$ B、 $[1, 3]$ C、 $[1, 4]$ D、[2,4]

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二、填空题

13. 曲线 $C$ ： $y = x \ln x$ 在点 $M (e ， e)$ 处的切线方程为.

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14. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各顶点都在同一球面上，若 $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $∠ B A C = 120^{\circ}$ ，则此球的表面积等于.

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15. 如图，抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 4 x$ 和圆 $C_{2} ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $l$ 经过 $C_{1}$ 的焦点 $F$ ，依次交 $C_{1} ， C_{2}$ 于 $A ， B ， C ， D$ 四点，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{C D}$ 的值是．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点D ，且 $B D = 1$ ，则 $4 a + c$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， P A = A D = 2 ， A B = 1$ ， $A M ⊥ P D$ 于点 $M$ ，连接 $B M$ .

(1)、求证： $P D ⊥ B M$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A C M$ 所成角的正弦值.

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18. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别满足 $c = 2 b = 2$ ， $2 b cos A + a cos C + c cos A = 0$ ，又点 $D$ 满足 $\overset{⇀}{A D} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{A C}$ ．

(1)、求 $a$ 及角 $A$ 的大小；

(2)、求 $| \overset{⇀}{A D} |$ 的值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = \frac{1}{2}$ ， $2 a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{2} b_{n}$ ， $2 b_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + b_{n}$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} + b_{n}}$ ， ${a_{n} - b_{n}}$ 为等比数列；

(2)、记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明： $S_{n} < \frac{10}{3}$ .

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20. 函数 $f (x) = 2 (x^{2} - 2 x) \ln x - x^{2} + 4 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = e$ 处的切线方程（ $e$ 为自然对数的底数）；

(2)、设 $g (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + f (x)$ ，若 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty) 且 x_{1} \neq x_{2}$ ，满足 $g (x_{1}) + g (x_{2}) = 8$ ，求证： $x_{1} x_{2} < 1$ .

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21. 如图，设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > b > 0 ）$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且 $2 \vec{F_{1} F_{2}} + \vec{F_{2} Q} =$ 0，若过 A，Q，F₂三点的圆恰好与直线 $l ： x - \sqrt{3} y - 3 = 0$ 相切，过定点 M（0，2）的直线 $l_{1}$ 与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线 $l_{1}$ 的斜率 $k > 0$ ，在x轴上是否存在点P（ $m$ ，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出 $m$ 的取值范围；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）若实数 $λ$ 满足 $\vec{M G} = λ \vec{M H}$ ，求 $λ$ 的取值范围．

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22. 以平面直角坐标系的坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 - 3 t \\ y = - 1 + 2 t \end{matrix}$ （t为参数），曲线的极坐标方程为 $ρ \sin^{2} θ = 4 \cos θ$ .

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线与曲线 $C$ 相交于 $A 、 B$ 两点，求 $| A B |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | x + \frac{1}{2} | + | x - \frac{3}{2} |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < \frac{1}{2} | 1 - a |$ 的解集是空集，求实数 $a$ 的取值范围.

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