高中数学人教新课标A版必修四第一章三角函数单元试卷

试卷更新日期：2020-03-25 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 函数 $y = \sqrt{2 \cos x + 1}$ 的定义域是（　　）

A、 $[2 k π - \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{π}{3}] (k \in Z)$ B、 $[2 k π - \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{π}{6}] (k \in Z)$ C、 $[2 k π + \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ D、 $[2 k π - \frac{2 π}{3} ， 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$

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2. 设 $a = {log}_{3} π$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{π}$ ， $c = tan \frac{8073 π}{4}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $c > b > a$

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3. 若点 $P (sin α - cos α ， tan α)$ 在第一象限，则在 $[0 ， 2 π)$ 内 $α$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}) \cup^{} (π ， \frac{5 π}{4})$ B、 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}) \cup^{} (\frac{5 π}{4} ， \frac{3 π}{2})$ C、 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}) \cup^{} (\frac{3 π}{4} ， π)$

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4. 已知函数f（x）=sin（ωx+ $\frac{π}{4}$ ）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得函数y=f（x）为偶函数时，则φ的一个值是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{3 π}{8}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{8}$

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5. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + θ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ 的图像相邻的两个对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，若将函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 后得到偶函数 $g (x)$ 的图像，则函数 $f (x)$ 的一个单调递减区间为（）

A、 $[- \frac{π}{8} ， \frac{π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{4} ， \frac{7 π}{12}]$ C、 $[0 ， \frac{π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{2} ， \frac{5 π}{6}]$

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6. 函数 $f (x) = \frac{sin x}{ln | x |}$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数： $f (x) = A sin (ω x + φ) + b$ ，则中午 12 点时最接近的温度为（）

A、 $26 ° C$ B、 $27 ° C$ C、 $28 ° C$ D、 $29 ° C$

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8. 已知 $f (x) = \sin (ω x + ϕ) (ω > 0, | ϕ | < \frac{π}{2})$ 满足 $f (x) = - f (x + \frac{π}{2}), f (0) = \frac{1}{2}$ ，则g（x）=2cos（ωx+φ）在区间 [0， $\frac{π}{2}$ ] 上的最大值为（）

A、4 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、﹣2

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9. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3})$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3} ， \frac{7}{6}]$ B、 $[\frac{1}{3} ， \frac{5}{6}]$ C、 $[0 ， \frac{1}{3}]$ D、 $[0 ， 3]$

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10. 函数 $f (x) = tan (ω x + φ) (0 < | φ | 〈 \frac{π}{2} ， ω 〉 0)$ 某相邻两支图象与坐标轴分别交于点 $A (\frac{π}{6} ， 0) ， B (\frac{2 π}{3} ， 0)$ ，则方程 $f (x) = cos (2 x - \frac{π}{3}) ， x \in [0 ， π]$ 所有解的和为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{π}{4}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (0 < ω < 6, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $(\frac{π}{6}, 2)$ 和 $(\frac{2 π}{3}, - 2)$ .若函数 $g (x) = f (x) - m$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上有唯一零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 1]$ B、 ${- 1} \cup^{} (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ C、 $(- \frac{1}{2}, 1]$ D、 ${- 2} \cup^{} (- 1, 1]$

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12. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + ϕ)$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， 0 < ϕ < π$ ）的图象关于点 $M (\frac{5 π}{12} ， 0)$ 成中心对称，且与点 $M$ 相邻的一个最低点为 $N (\frac{2 π}{3} ， - 3)$ ，则对于下列判断：①直线 $x = \frac{π}{2}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴；②点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称中心；③函数 $y = 1$ 与 $y = f (x) (- \frac{π}{12} \leq x \leq \frac{35 π}{12})$ 的图象的所有交点的横坐标之和为 $7 π$ .其中正确的判断是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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二、填空题

13. $\cos (- 330^{0})$ 的值为．

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14. 若 $sin (α + \frac{π}{12}) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (α + \frac{7π}{12})$ 的值为.

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15. 将函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后，再向下平移1个单位得到函数 $g (x)$ ，若 $g (x_{1}) g (x_{2}) = 9$ ，且 $x_{1} ， x_{2} \in [- 2 π ， 2 π]$ ，则 $2 x_{1} - x_{2}$ 的最小值为．

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16. 已知 $f (x) = sin (φ x + \frac{π}{3}) (φ > 0)$ ， $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{π}{3})$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 只有最小值，没有最大值，则 $φ$ 的值是．

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三、解答题

17. 某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧 $\hat{A B}$ 、 $\hat{C D}$ 所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．

(1)、若θ= $\frac{π}{3}$ ，r₁=3，r₂=6，求花坛的面积；

(2)、设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？

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18. 化简计算：

(1)、化简： $\frac{\sqrt{1 - 2 s i n 100 ° c o s 280 °}}{\sqrt{1 - c o s^{2} 170 °} - c o s 370 °}$ ．

(2)、已知：sinαcosα= $\frac{1}{4}$ ，且 $\frac{π}{4}$ ＜α＜ $\frac{π}{2}$ ，求cosα﹣sinα的值．

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19. 已知角α的终边经过点 $P (m, 2 \sqrt{2})$ ， $\sin α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 且 $α$ 为第二象限角．

(1)、求 $m$ 、 $\cos α$ 、 $\tan α$ 的值；

(2)、若 $\tan β = \sqrt{2}$ ，求 $\frac{\sin α \cos β + 3 \sin (\frac{π}{2} + α) \sin β}{\cos (π + α) \cos (- β) - 3 \sin α \sin β}$ 的值．

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20. 设函数 $f (x) = sin (2 x + ϕ) (- π < ϕ < 0)$ ， $y = f (x)$ 图像的一条对称轴是直线 $x = \frac{5 π}{8}$ ．
（Ⅰ）求 $ϕ$ 的值并画出函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的图像；
（Ⅱ）若将 $f (x)$ 向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $g (x)$ 的图像，求使 $g (x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 成立的 $x$ 的取值范围.

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21. 已知点A（x₁ ， f（x₁）），B（x₂ ， f（x₂））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ $\frac{π}{2}$ ＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，﹣ $\sqrt{3}$ ），若|f（x₁）﹣f（x₂）|=4时，|x₁﹣x₂|的最小值为 $\frac{π}{3}$

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、若方程3[f（x）]²﹣f（x）+m=0在x∈（ $\frac{π}{9}$ ， $\frac{4 π}{9}$ ）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．

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22. 将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数f（x）的图象

(1)、写出函数f（x）的解析式；

(2)、若对任意的x∈[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{12}$ ]，f²（x）﹣mf（x）﹣1≤0恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、求实数a和正整数n，使得F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017个零点．

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高中数学人教新课标A版必修四 第一章 三角函数 单元试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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