陕西省渭南市2020届高三上学期理数期末(一模)数学试卷

试卷更新日期：2020-03-28 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 0 < x < 2}$ ， $B = {- 3 ， - 1 ， 1 ， 3}$ ，则集合 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${- 3 ， - 1}$ B、 ${- 3 ， - 1 ， 3}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 1}$

查看试题解析
2. 已知i为虚数单位，若 $\frac{1}{1 - i} = a + b i (a ， b \in R)$ ，则a²+b²=（）

A、2 B、4 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，1]上单调递增的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、y=|sinx| C、y=tanx D、 $y = {(\frac{1}{2})}^{| x |}$

查看试题解析
4. 设数列{a_n}是正项等比数列，S_n为其前n项和，已知a₂a₄=1，S₃=7，则公比q=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

查看试题解析
5. 函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{e^{x} + 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 已知m､n为两条不同的直线，α､β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若m⊥α ， m⊥n ，则n∥α B、若m⊥α ， n∥β且α∥β ，则m⊥n C、若m⊂α ， n⊂α且m∥β ， n∥β ，则α∥β D、若直线m､n与平面α所成角相等，则m∥n

查看试题解析
7. 执行如图所示的程序框图，输出 $S$ 的值为（）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $13$

查看试题解析
8. 2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（）

①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013～2014；③这8年的增长率约为40％；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
9. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{2}$ 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 $M$ ，若点 $M$ 在以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆外，则双曲线的离心率的取值范围是（）

A、 $(1 ， \sqrt{2})$ B、 $(\sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $(\sqrt{3} ， 2)$ D、 $(2 ， + \infty)$

查看试题解析
10. 唐代诗人李欣的是 $《$ 古从军行 $》$ 开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ ，若将军从 $A (2 ， 0)$ 出发，河岸线所在直线方程 $x + y - 4 = 0$ ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5} - 1$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10} - 1$

查看试题解析
11. 设函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象为C ，下面结论正确的是（）

A、函数f(x)的最小正周期是2π. B、函数f(x)在区间 $(\frac{π}{12} ， \frac{π}{2})$ 上是递增的 C、图象C关于点 $(\frac{7 π}{6} ， 0)$ 对称 D、图象C由函数g(x)=sin2x的图象向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位得到

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} l n x, x \geq 1 \\ 1 - \frac{x}{2}, x < 1 \end{matrix}$ ，若 $F (x) = f [f (x) + 1] + m$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $[4 - 2 ln 2, + \infty)$ B、 $(\sqrt{e}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 4 - 2 ln 2]$ D、 $(- \infty, \sqrt{e})$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n(n+1)+2，其中 $n \in N^{*}$ ，则a_n=.

查看试题解析
14. 设D为△ABC所在平面内的一点，若 $\vec{A D} = 3 \vec{B D} ， \vec{C D} = λ \vec{C A} + μ \vec{C B}$ ，则 $\frac{μ}{λ} =$ .

查看试题解析
15. 从 ${(x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{8}$ 的展开式各项中随机选两项，则这两项均是有理项的概率为.

查看试题解析
16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形， $△ P A B$ 是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．

查看试题解析

三、解答题

17. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，PA⊥平面ABCD ， AB=AC=PA=2，E ， F ， M分别为线段BC ， AD ， PD的中点.

(1)、求证：直线EF⊥平面PAC；

(2)、求平面MEF与平面PBC所成二面角的正弦值.

查看试题解析
18. 在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且B是A ， C的等差中项.

(1)、若 $b = \sqrt{13} ， a = 3$ ，求边c的值；

(2)、设t=sinAsinC ，求t的取值范围.

查看试题解析
19. 2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是 $\frac{1}{4}$ ，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.

(1)、求该学生进入省队的概率.

(2)、如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及 $ξ$ 的数学期望.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = \ln x ， g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - b x$ (b为常数)

(1)、若b=1，求函数H(x)=f(x)﹣g(x)图象在x=1处的切线方程；

(2)、若b≥2，对任意x₁ ， x₂∈[1，2]，且x₁≠x₂ ，都有|f(x₁)﹣f(x₂)|>|g(x₁)﹣g(x₂)|成立，求实数b的值.

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点相同，F₁ ， F₂为C的左､右焦点，M为C上任意一点， $S_{Δ M F_{1}}_{F_{2}}$ 最大值为1.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、不过点F₂的直线l：y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A ， B两点.
①若 $k^{2} = \frac{1}{2}$ ，且 $S_{△ A O B} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求m的值.

②若x轴上任意一点到直线AF₂与BF₂距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.

查看试题解析
22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 t \\ y = - \sqrt{3} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos θ \\ y = 2 \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以该直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{3} \cos θ - 2 \sin θ$ ．
（Ⅰ）分别求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线 $l$ 交曲线 $C_{1}$ 于 $O$ ， $A$ 两点，交曲线 $C_{2}$ 于 $O$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ 的长．

查看试题解析
23. 已知a>0,b>0,c>0,函数f（x）=|a－x|+|x+b|+c.

(1)、当a=b=c=2时,求不等式f（x）<10的解集;

(2)、若函数f（x）的最小值为1,证明: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{1}{3}$ .

查看试题解析