广东省2020年1月大联考文数高三试卷

试卷更新日期：2020-03-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. $(1 - i) (3 - i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设集合 $A = {x | (x + 2) (x - 3) ⩽ 0}$ ， $B = {a}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则 $a$ 的最大值为（）

A、－2 B、2 C、3 D、4

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3. 已知函数 $f (x) = x \sqrt{9 - x^{2}}$ ，则（）

A、 $f (1) > f (2)$ B、 $f (x)$ 在 $[0, 3]$ 上为增函数 C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 的定义域为 $[- 3, 3]$

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{A B} = (1, 2)$ ， $\overset{⇀}{B C} = (x, - 4)$ ，若 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，则 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{B C} =$ （）

A、10 B、80 C、－10 D、－80

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5. 若函数 $f (x) = \cos (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，则 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的值域为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}]$ B、 $[- \frac{1}{2}, 1]$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ D、 $[\frac{1}{2}, 1]$

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6. 2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人，其中关注此次大阅兵的有5位，若从这6位外国人中任意选取2位做一次采访，则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{2}$ ， $A$ ， $B$ 分别为 $C$ 的右顶点、上顶点.若 $C$ 的对称中心到 $A B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $C$ 的长轴长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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8. 已知 $θ \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，且 $\sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、 $\frac{12}{5}$

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9. 我国古代数学名著《九章算术》里有一个这样的问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价几何？”为了解决这个问题，某人设计了如图所示的程序框图，运行该程序框图，则输出的 $x$ ， $y$ 分别为（）

A、30，8900 B、31，9200 C、32，9500 D、33，9800

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10. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P B = P D = 2$ ， $A B = A D = 1$ ， $P C = \sqrt{3} P A = 3$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 现有下列四条曲线：
①曲线 $y = 2 e^{x} - 2$ ；②曲线 $y = 2 \sin x$ ；③曲线 $y = 3 x + \frac{1}{x}$ ；④曲线 $y = x^{3} - x - 2$ .

直线 $y = 2 x$ 与其相切的共有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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12. 已知 $P$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）左支上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点， $M$ 为虚轴的一个端点，若 $| M P | + | P F_{2} |$ 的最小值为 $| F_{1} F_{2} |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 + \sqrt{6}}{2}$ B、 $2 + \sqrt{6}$ C、 $\frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ D、 $4 + \sqrt{6}$

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二、填空题

13. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的12条棱中，与平面 $B C_{1} D_{1}$ 平行的棱共有条.

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14. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} - 1 ⩽ x ⩽ 1 ， \\ x + 2 y ⩽ 3 ， \end{array}$ 则 $x - y$ 的取值范围为.

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15. 已知 $3^{a} = 12$ ， $b = 2 \log_{3} 2$ ，现有下列四个结论：
① $a = 2 b$ ；② $a - b = 1$ ；③ $a < 2 b$ ；④ $a + b > 3$ .

其中所有正确结论的编号是.

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16. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $Δ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边.已知 $\frac{2 a - \sqrt{3} b}{\cos B} = \frac{\sqrt{3} c}{\cos C}$ ，则 $C =$ ， $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{a c}$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 在公差为2的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + 1$ ， $a_{2} + 2$ ， $a_{3} + 4$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} - 2^{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 国家每年都会对中小学生进行体质健康监测，一分钟跳绳是监测的项目之一.今年某小学对本校六年级300名学生的一分钟跳绳情况做了统计，发现一分钟跳绳个数最低为10，最高为189.现将跳绳个数分成 $[10 ， 40)$ ， $[40 ， 70)$ ， $[70 ， 100)$ ， $[100 ， 130)$ ， $[130 ， 160)$ ， $[160 ， 190]$ 6组，并绘制出如下的频率分布直方图.

(1)、若一分钟跳绳个数达到160为优秀，求该校六年级学生一分钟跳绳为优秀的人数；

(2)、上级部门要对该校体质监测情况进行复查，发现每组男、女学生人数比例有很大差别， $[10 ， 40)$ 组男、女人数之比为 $2：1$ ， $[40 ， 70)$ 组男、女人数之比为 $5 ： 1$ ， $[70 ， 100)$ 组男、女人数之比为 $11：7$ ， $[100 ， 130)$ 组男、女人数之比为 $10 ： 11$ ， $[130 ， 160)$ 组男、女人数之比为 $19 ： 20$ ， $[160 ， 190]$ 组男、女人数之比为 $1： 6$ .试估计此校六年级男生一分钟跳绳个数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留整数）.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{\ln x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 在 $[e^{\frac{1}{3}} ， e^{2}]$ 上只有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知直线 $x = 2 p$ 与抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $Δ P O Q$ 的面积为16（ $O$ 为坐标原点）.

(1)、求 $C$ 的方程.

(2)、直线 $l$ 经过 $C$ 的焦点 $F$ 且 $l$ 不与 $x$ 轴垂直， $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若线段 $A B$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $D$ ，试问在 $x$ 轴上是否存在点 $E$ ，使 $\frac{| A B |}{| D E |}$ 为定值？若存在，求该定值及 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 设三棱锥 $P - A B C$ 的每个顶点都在球 $O$ 的球面上， $Δ P A B$ 是面积为 $3 \sqrt{3}$ 的等边三角形， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C$ ，且平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、求球 $O$ 的表面积；

(2)、证明：平面 $P O C ⊥$ 平面 $A B C$ ，且平面 $P O C ⊥$ 平面 $P A B$ .

(3)、与侧面 $P A B$ 平行的平面 $α$ 与棱 $A C$ ， $B C$ ， $P C$ 分别交于 $D$ ， $E$ ， $F$ ，求四面体 $O D E F$ 的体积的最大值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos α ， \\ y = 2 | \sin α | \end{array}$ （ $α$ 为参数），直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + 3 t ， \\ y = a + 4 t \end{array}$ （ $t$ 为参数）.

(1)、若 $a = - \frac{4}{3}$ ，求 $C$ 与 $l$ 的普通方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 有两个不同的公共点，求 $a$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | - | x + a |$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求不等式 $f (x) ⩾ - 1$ 的解集；

(2)、若“ $\forall x \in R$ ， $f (x) < | 2 a + 1 |$ ”为假命题，求 $a$ 的取值范围.

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