广西梧州市贺州市2020届高三毕业班理数摸底调研考试试卷

试卷更新日期：2020-03-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 2 ， 0 ， 2}$ ， $B = {x | x^{2} > 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2}$ B、 ${0 ， 2}$ C、 ${- 2 ， 2}$ D、 $\emptyset$

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2. 若 $i z = 1 - 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $- i$ D、 $i$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 都是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{2}{3}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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4. 在等差数列{a_n}中，a₂+a₃＝1+a₄ ， a₅＝9，则a₈＝（）

A、14 B、15 C、16 D、17

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5. $(1 + 2 x) {(1 + x)}^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、 $12$ B、 $14$ C、 $16$ D、 $20$

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6. 将函数y＝cos（2x $- \frac{π}{6}$ ）的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后，得到函数f（x）的图象，则f（x）＝（）

A、sin2x B、﹣sin2x C、sin（2x $- \frac{π}{6}$ ） D、﹣sin（2x $- \frac{π}{6}$ ）

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7. 在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长 $2$ 丈 $4$ 尺，圆周长为 $5$ 尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺.”（注： $1$ 丈等于 $10$ 尺），则这个问题中，葛藤长的最小值为（）

A、 $2$ 丈 $4$ 尺 B、 $2$ 丈 $5$ 尺 C、 $2$ 丈 $6$ 尺 D、 $2$ 丈 $8$ 尺

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8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝2，则输出的T＝（）

A、8 B、﹣8 C、﹣56 D、﹣72

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9. 函数 $y = \frac{(x - x^{3}) 2^{x}}{4^{x} + 1}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱长为3，AB⊥BC ， AB+BC＝4，若三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的外接球为球O ，则球O表面积的最小值为（）

A、17π B、18π C、19π D、20π

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11. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = - f (x)$ ，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = x - x^{2}$ ，则当 $x \in [- \frac{1}{2} ， \frac{5}{2}]$ 时，方程 $8 f (x) + 1 = 0$ 的实数解的个数为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 为双曲线 $C$ 上的一点，若线段 $P F_{1}$ 与 $y$ 轴的交点 $M$ 恰好是线段 $P F_{1}$ 的中点， $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M O} = b^{2}$ ，其中， $O$ 为坐标原点，则双曲线 $C$ 的渐近线的方程是（）

A、 $y = \pm 3 x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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二、填空题

13. 某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为： $[20 ， 40)$ 、 $[40 ， 60)$ 、 $[60 ， 80)$ 、 $[80 ， 100]$ ，若低于 $60$ 分的人数是 $15$ ，则成绩不低于 $80$ 分的学生人数是.

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14. 曲线y＝e^x^﹣¹+xlnx在点（1，1）处的切线方程为．

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为A ，左，右焦点为F₁ ， F₂ ，过点F₂与x轴垂直的直线与椭圆的一个交点为B ．若|F₁F₂|＝2，|F₂B| $= \frac{3}{2}$ ，则点F₁到直线AB的距离为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 10$ ， $b_{n} = a_{n} - 4 (n + 1)$ ，若 $b_{n + 1} > b_{n}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的首项的取值范围为.

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三、解答题

17. △ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且（a+b﹣c）（sinA+sinB+sinC）＝bsinA ．

(1)、求C；

(2)、若a＝2，c＝5，求△ABC的面积．

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18. 某校为了了解高一新生是否愿意参加军训，随机调查了80名新生，得到如下2×2列联表

	愿意	不愿意	合计
男	x	5	M
女	y	z	40
合计	N	25	80

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

附：

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k₀	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、写出表中x ， y ， z ， M ， N的值，并判断是否有99.9%的把握认为愿意参加军训与性别有关；

(2)、在被调查的不愿意参加军训的学生中，随机抽出3人，记这3人中男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

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19. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A_{1} D C_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ，求平面 $A_{1} D C_{1}$ 与平面 $B_{1} E F$ 所成二面角的正弦值.

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20. 已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为（0，1）

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设直线l₂：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P ，且与直线l₁：y＝﹣1相交于点Q ，试问，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = (x + 1) \ln x - a x$ ， $a$ 是实数.

(1)、当 $a \leq 2$ 时，求证： $f (x)$ 在定义域内是增函数；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数.

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22. 已知曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 c o s φ \\ y = s i n φ \end{array}$ （φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ c o s (\frac{π}{4} + θ) = 3 \sqrt{2}$ ．

(1)、直线l与曲线C是否有公共点？并说明理由；

(2)、若直线l与两坐标轴的交点为A ， B ，点P是曲线C上的一点，求△PAB的面积的最大值．

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23. 已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1．

(1)、当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；

(2)、当f（x）≤1，求实数a的取值范围．

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