浙江省绍兴市诸暨市2020届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-03-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 1$ 的对称轴为直线（）

A、 $x = 2$ B、 $x = - 2$ C、 $x = 1$ D、 $x = - 1$

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2. 如图，已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $A C = 4$ ，则 $\cos B$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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3. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个白球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，则黄球的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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4. 若两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为（）

A、1∶2 B、1∶4 C、1∶8 D、1∶16

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5. 用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 将抛物线y=（x﹣2）²﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）

A、y=（x+1）²﹣13 B、y=（x﹣5）²﹣3 C、y=（x﹣5）²﹣13 D、y=（x+1）²﹣3

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7. 如图， $A C$ 是圆内接四边形 $A B C D$ 的一条对角线，点 $D$ 关于 $A C$ 的对称点 $E$ 在边 $B C$ 上，连接 $A E$ .若 $∠ A B C = 64^{\circ}$ ，则 $∠ A E C$ 的度数为（）

A、106° B、116° C、126° D、136°

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8. 如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若△ADE与△ABC相似，则下列结论一定成立的是（）

A、E为AC的中点 B、DE是中位线或AD·AC=AE·AB C、∠ADE=∠C D、DE∥BC或∠BDE+∠C=180°

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9. 如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是（）

A、19.4 B、19.5 C、19.6 D、19.7

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10. 学校体育室里有6个箱子，分别装有篮球和足球（不混装），数量分别是8，9，16，20，22，27，体育课上，某班体育委员拿走了一箱篮球，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，则这六箱球中，篮球有（）箱.

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

11. 若 $\frac{a}{b}$ ＝ $\frac{1}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{a}$ 的值为.

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12. 如图， $A B$ 与⊙ $O$ 相切于点 $B$ ， $A O = 6 c m$ ， $A B = 4 c m$ ，则⊙ $O$ 的半径为 $c m$ .

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13. 已知线段 $A B$ ，点 $P$ 是它的黄金分割点， $A P > P B$ ，设以 $A P$ 为边的正方形的面积为 $S_{1}$ ，以 $P B ， A B$ 为邻边的矩形的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的关系是.

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14. 将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点 $C$ 在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若 $P (3 ， 1)$ 是钝角 $Δ A B C$ 的外心，则 $C$ 的坐标为.

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15. 如图，在半径为5的⊙ $O$ 中，弦 $A B = 8$ ， $P$ 是弦 $A B$ 所对的优弧上的动点，连接 $A P$ ，过点 $A$ 作 $A P$ 的垂线交射线 $P B$ 于点 $C$ ，当 $Δ P A B$ 是以 $A B$ 为腰的等腰三角形时，线段 $B C$ 的长为.

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16. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60^{\circ}$ ， $B C = 12$ ， $A B = 10$ ，点E在AD上，且AE=4，点 $F$ 是AB上一点，连接EF，将线段EF 绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接DG，则线段DG的最小值为.

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三、解答题

17. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(2020 - π)}^{0} + 2 \sin 30^{\circ}$

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18. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．

(1)、八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；

(2)、试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．

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19. 商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元，已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台.若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台.设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了 $x$ 元.

(1)、填表：

每天的销售量/台

每台销售利润/元

降价前

8

400

降价后

(2)、商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到最大时，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？

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20. 某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°至24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势.根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度得桌面.新桌面的设计图如图1， $A B$ 可绕点 $A$ 旋转，在点 $C$ 处安装一根长度一定且 $C$ 处固定，可旋转的支撑臂 $C D$ ， $A D = 30 c m$ .

（参考数据： $\sin 24^{\circ} \approx 0.40$ ， $\cos 24^{\circ} \approx 0.91$ ， $\tan 24^{\circ} \approx 0.46$ ， $\sin 12^{\circ} \approx 0.20$ ）

(1)、如图2，当 $∠ B A C = 24^{\circ}$ 时， $C D ⊥ A B$ ，求支撑臂 $C D$ 的长；

(2)、如图3，当 $∠ B A C = 12^{\circ}$ 时，求 $A D$ 的长.（结果保留根号）

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21. 如图， $A B$ 是⊙ $O$ 的直径， $M$ 是 $O A$ 的中点，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $M$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ C A$ 交 $C A$ 的延长线于点 $E$ .

(1)、连接 $A D$ ，求 $∠ O A D$ ；

(2)、点 $F$ 在 $\overset{⌢}{B C}$ 上， $∠ C D F = 45^{\circ}$ ，DF交 $A B$ 于点 $N$ .若 $D E = \sqrt{3}$ ，求 $F N$ 的长.

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22. 锐角 $Δ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $A D$ 为 $B C$ 边上的高线， $S_{Δ A B C} = 12$ ，两动点 $M ， N$ 分别在边 $A B ， A C$ 上滑动，且 $M N ∥ B C$ ，以 $M N$ 为边向下作正方形 $M P Q N$ （如图1），设其边长为 $x$ .

(1)、当 $P Q$ 恰好落在边 $B C$ 上（如图2）时，求 $x$ ；

(2)、正方形 $M P Q N$ 与 $Δ A B C$ 公共部分的面积为 $\frac{16}{3}$ 时，求 $x$ 的值.

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23. 定义：已知点 $O$ 是三角形边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点 $O$ 叫做该三角形的等距点.

(1)、如图1： $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $O$ 在斜边 $A B$ 上，且点 $O$ 是 $Δ A B C$ 的等距点，试求 $B O$ 的长；

(2)、如图2， $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，点 $P$ 在边 $A B$ 上， $A P = 2 B P$ ， $D$ 为 $A C$ 中点，且 $∠ C P D = 90^{\circ}$ .
①求证： $Δ C P D$ 的外接圆圆心是 $Δ A B C$ 的等距点；②求 $\tan ∠ P D C$ 的值.

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24. 如图，已知直线 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 相交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， m)$ 两点，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交 $y$ 轴于点 $C (0 ， - \frac{3}{2})$ ，交 $x$ 轴正半轴于 $D$ 点，抛物线的顶点为 $M$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、设点 $P$ 为直线 $A B$ 下方的抛物线上一动点，当 $Δ P A B$ 的面积最大时，求 $Δ P A B$ 的面积及点 $P$ 的坐标；

(3)、若点 $Q$ 为 $x$ 轴上一动点，点 $N$ 在抛物线上且位于其对称轴右侧，当 $Δ Q M N$ 与 $Δ M A D$ 相似时，求 $N$ 点的坐标.

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	每天的销售量/台	每台销售利润/元
降价前	8	400
降价后