广西桂林市2020届文数高三第一次联合调研考试试卷

试卷更新日期：2020-03-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq - 1} ， B = {x | 2^{x} \leq 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2]$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 人体的体质指数（ $B M I$ ）的计算公式： $B M I =$ 体重 $\times$ 身高 $^{2}$ （体重单位为 $k g$ ，身高单位为 $m$ ）.其判定标准如下表：

$B M I$

$18.5$

$18.5 ~ 23.9$

$24 ~ 29.9$

$30$ 以上

等级

偏瘦

正常

超标

重度超标

某小学生的身高为 $1.4 m$ ，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是（）

A、 $35.6$ B、 $36.1$ C、 $42.4$ D、 $48.2$

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4. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - 3 \vec{b} | =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 设 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，则 $α ⊥ β$ 的一个充分不必要条件（）

A、 $m ⊥ α ， m ⊥ β$ B、 $m \subset α ， n \subset β ， m ⊥ n$ C、 $m / / n ， m ⊥ α ， n ⊥ β$ D、 $m / / α ， m ⊥ β$

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6. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 3 x - y - 3 \leq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \\ 2 x + y - 2 \geq 0 \end{array}$ ，则目标函数 $z = x + 2 y$ 的最大值为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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7. 将函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = 2 \sin (4 x - \frac{π}{6}) + 2$ B、 $g (x) = 2 \sin (4 x - \frac{π}{6}) - 2$ C、 $g (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{6}) + 2$ D、 $g (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{6}) - 2$

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8. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代乙种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得（）钱？

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{1}{6}$

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9. 已知函数 $y = f (x)$ 的大致图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \cos x \cdot \ln \frac{x - 1}{1 + x}$ B、 $f (x) = \cos x \cdot \ln \frac{x + 1}{x - 1}$ C、 $f (x) = \sin x \cdot l n \frac{x - 1}{1 + x}$ D、 $f (x) = \sin x \cdot \ln \frac{x + 1}{x - 1}$

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10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（）

A、 $27 π$ B、 $36 π$ C、 $12 π$ D、 $18 π$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{8} = 1 (a > 0) ， F_{1} ， F_{2}$ 是 $C$ 的左右焦点， $P$ 是双曲线 $C$ 右支上任意一点，若 $\frac{{| P F_{1} |}^{2}}{| P F_{2} |}$ 的最小值为8，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = 2^{3 - x}$ ，若函数 $g (x) = f (| x |) - 2 f (m^{2} - m)$ 有两个零点，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{\sqrt{5}}{2} ， \frac{\sqrt{5}}{2})$ B、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} ， \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$ D、 $(- \infty ， \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知 $\sin x + \cos x = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin 2 x =$ .

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14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3, a_{3}^{2} = a_{4}$ ，则 $a_{5} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = e^{x} (\ln x - 1)$ ，使得 $f (m) \geq - e$ 成立的实数 $m$ 的取值范围为.

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16. 已知 $F_{1}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左焦点，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，若 $\vec{B F_{1}} = 3 \vec{F_{1} A}$ ，则直线 $l$ 的斜率为.

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三、解答题

17. 在锐角 $Δ A B C$ 中，内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，已知 $(2 c - 2 b) \cos A = a \cos B - c$ .

(1)、求证： $b = 2 c$ ；

(2)、若 $\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}, a = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 某学校在学期结束，为了解家长对学校工作的满意度，对两个班的100位家长进行满意度调查，调查结果如下：

	非常满意	满意	合计
A	30	15	45
B	45	10	55
合计	75	25	100

附：

$P (K^{2} \geq k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

(1)、根据表格判断是否有

95 %

的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系？

(2)、用分层抽样的方法从非常满意的家长中抽取5人进行问卷调查，并在这5人中随机选出2人进行座谈，求这2人都来自同一班级的概率？

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 ， A B = B C = 1$ ， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为 $A C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $A B_{1} C_{1}$ 的距离.

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20. 已知函数 $f (x) = x - a \ln x + b (a ， b \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $1 < a < e$ 时，记函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， e]$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，求 $M - m$ 的取值范围.

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21. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，抛物线 $C$ 与圆 $D : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 的相交弦长为4.

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、点 $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点， $A 、 B$ 为抛物线 $C$ 上两点， $∠ A F B = 90 °$ ，若 $Δ A F B$ 的面积为 $\frac{25}{36}$ ，且直线 $A B$ 的斜率存在，求直线 $A B$ 的方程.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \\ y = 4 - 2 t \end{array}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{2}{1 + \cos^{2} θ}$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $P$ 在直线 $l$ 上，点 $Q$ 在曲线 $C$ 上，求 $| P Q |$ 的最小值.

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23. 设 $a, b, c \in R$ ，且 $a + b + c = 3$ .

(1)、求证： $a^{2} + {(b + 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} \geq 3$ ；

(2)、若 $t \geq 1$ ，求证： ${(a - 1)}^{2} + {(b - t)}^{2} + {(c + 2 t)}^{2} \geq 3$ .

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$B M I$	$18.5$	$18.5 ~ 23.9$	$24 ~ 29.9$	$30$ 以上
等级	偏瘦	正常	超标	重度超标