广东省肇庆市2020届高三文数第二次统一检测试卷

试卷更新日期：2020-03-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x - 1 < 0}, B = {x | x^{2} - 5 x - 6 < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- 6, 1)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- \infty, 6)$

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2. 设复数z满足 $| z - i | = 1$ ，z在复平面内对应的点为(x ， y)，则

A、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$

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3. 下列函数为奇函数的是（）

A、 $y = \sin | x |$ B、 $y = | \sin x |$ C、 $y = \cos x$ D、 $y = e^{x} - e^{- x}$

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4. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为 $[20 ， 40) ， [40 ， 60) ， [60 ， 80) ， [80 ， 100] .$ 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）

A、45 B、50 C、55 D、60

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5. 等差数列 $x$ ， $3 x + 3$ ， $6 x + 6$ ， $\cdot \cdot \cdot$ 的第四项等于（）

A、 $0$ B、 $9$ C、 $12$ D、 $18$

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6. 为了研究某班学生的脚长 $x$ （单位厘米）和身高 $y$ （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出 $y$ 与 $x$ 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ .已知 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 225$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 1600$ ， $\hat{b} = 4$ .该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）

A、160 B、163 C、166 D、170

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7. 若 $l, m$ 是两条不同的直线， $m$ 垂直于平面 $α$ ，则“ $l ⊥ m$ ”是“ $l / / α$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的 $x ， y \in R$ ，则输出的 $S$ 的最大值为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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9. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ 的部分图像如图所示，则 $f (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(2 k π + \frac{3}{4} ， 2 k π + \frac{7}{4})$ ， $k \in Z$ B、 $(2 k π - \frac{1}{4} ， 2 k π + \frac{3}{4})$ ， $k \in Z$ C、 $(2 k + \frac{3}{4} ， 2 k + \frac{7}{4})$ ， $k \in Z$ D、 $(2 k - \frac{1}{4} ， 2 k + \frac{3}{4})$ ， $k \in Z$

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10. 已知e为自然对数的底数，过原点与函数 $f (x) = e^{x}$ 图像相切的直线方程为（）

A、 $y = e^{x} \cdot x$ B、 $y = x$ C、 $y = e x$ D、 $y = \frac{1}{e} x$

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11. 抛物线方程为 $x^{2} = 4 y$ ，动点 $P$ 的坐标为 $(1, t)$ ，若过 $P$ 点可以作直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，且点 $P$ 是线段 $A B$ 的中点，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $- 2$

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12. 已知函数 $f (x)$ 为定义城为 $R$ 的偶函数，且满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，当 $x \in [- 1 ， 0]$ 时， $f (x) = - x$ ，则函数 $F (x) = f (x) + \frac{x + 4}{1 - 2 x}$ 在区间 $[- 9 ， 10]$ 上零点的个数为（）

A、 $10$ B、 $12$ C、 $18$ D、 $20$

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 2), \overset{⇀}{b} = (2, - 2), \overset{⇀}{c} = (1, λ)$ ，若 $\overset{⇀}{c} ⊥ (2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b})$ 则 $λ =$ .

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14. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = - 1$ ， $S_{3} = - 3$ ，则 $a_{1} =$ .

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 相切，则该双曲线的离心率为.

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16. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为 $4$ 的菱形， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A C \cap B D = O$ ， $A C_{1} ⊥ A_{1} O$ ，则三棱锥 $A_{1} - A B D$ 的外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 已知在 $Δ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 对应的边分别为 $a 、 b 、 c$ ， $b \sin B + a \sin C = a \sin A + c \sin C$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $c = 1$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $C$ ．

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18. 通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下

2 \times 2

列联表：

	男生	女生	合计
挑同桌	30	40	70
不挑同桌	20	10	30
总计	50	50	100

下面的临界值表供参考：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k_{0}$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

$($ 参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d)$

(1)、从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；

(2)、根据以上

2 \times 2

列联表，是否有

95 %

以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = C D = 1$ ，过棱 $P C$ 的中点 $E$ ，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ .

(1)、证明： $P A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、求三棱锥 $B - D E F$ 的体积．

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短半轴长为 $\sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设 $O$ 是坐标原点，点 $A$ 在直线 $y = 2$ 上，点 $B$ 在椭圆上，且 $O A ⊥ O B$ ，求线段 $A B$ 长度的最小值．

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21. 设函数 $f (x) = 2 e^{x} - {(x - a)}^{2} (a \in R)$ ，e为自然对数的底数.

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明：若 $x \geq 0, l n 2 - 2 \leq a < - 1$ ，则 $f (x) \geq 0$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t \cos α, \\ y = 2 + t \sin α, \end{array}$ （ $t$ 为参数， $0 \leq α < π$ ），在以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{4}{\sqrt{1 + 3 \cos^{2} θ}}$ .

(1)、求 $l$ 的普通方程和 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若曲线 $C$ 截直线 $l$ 所得线段的中点的直角坐标为 $(1, 2)$ ，求直线 $l$ 的斜率.

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23. 设函数 $f (x) = | x - a | + | x + \frac{1}{a} |$ ，（实数 $a > 0$ ）

(1)、当 $a = 1$ ，求不等式 $f (x) > 3$ 的解集

(2)、求证： $f (x) \geq 2$ .

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