广东省肇庆市2020届高三理数第二次统一检测试卷

试卷更新日期：2020-03-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x - 1 < 0}, B = {x | x^{2} - 5 x - 6 < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- 6, 1)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- \infty, 6)$

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2. 设复数z满足 $| z - i | = 1$ ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$

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3. 下列函数为奇函数的是（）

A、 $y = \sin | x |$ B、 $y = | \sin x |$ C、 $y = \cos x$ D、 $y = e^{x} - e^{- x}$

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4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）

A、 $\frac{5}{21}$ B、 $\frac{10}{21}$ C、 $\frac{11}{21}$ D、1

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5. 等差数列 $x$ ， $3 x + 3$ ， $6 x + 6$ ， $\cdot \cdot \cdot$ 的第四项等于（）

A、 $0$ B、 $9$ C、 $12$ D、 $18$

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6. ${(x^{2} - \frac{2}{x^{3}})}^{5}$ 展开式中的常数项是（）

A、 $- 80$ B、 $40$ C、 $80$ D、 $- 40$

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7. 若 $l, m$ 是两条不同的直线， $m$ 垂直于平面 $α$ ，则“ $l ⊥ m$ ”是“ $l / / α$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的 $x ， y \in R$ ，则输出的 $S$ 的最大值为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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9. 已知e为自然对数的底数，设函数 $f (x) = (e^{x} - 1) \cdot {(x - 1)}^{k} (k = 1 ， 2)$ ，则（）．

A、当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值 B、当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值 C、当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值 D、当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值

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10. 抛物线方程为 $x^{2} = 4 y$ ，动点 $P$ 的坐标为 $(1, t)$ ，若过 $P$ 点可以作直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，且点 $P$ 是线段 $A B$ 的中点，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $- 2$

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11. 已知函数 $f (x)$ 为定义城为 $R$ 的偶函数，且满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，当 $x \in [- 1 ， 0]$ 时， $f (x) = - x$ ，则函数 $F (x) = f (x) + \frac{x + 4}{1 - 2 x}$ 在区间 $[- 9 ， 10]$ 上零点的个数为（）

A、 $10$ B、 $12$ C、 $18$ D、 $20$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，则下述结论中错误的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有 $4$ 个零点，则 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有 $2$ 个极小值点 B、若 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有 $4$ 个零点，则 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{2 π}{15})$ 上单调递增 C、若 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有 $4$ 个零点，则 $ω$ 的范围是 $[\frac{15}{8} ， \frac{19}{8})$ D、若 $f (x)$ 图像关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称，且在 $(\frac{π}{18} ， \frac{5 π}{36})$ 单调，则 $ω$ 的最大值为 $9$

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 2), \overset{⇀}{b} = (2, - 2), \overset{⇀}{c} = (1, λ)$ ，若 $\overset{⇀}{c} ⊥ (2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b})$ 则 $λ =$ .

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14. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = - 1$ ， $S_{3} = - 3$ ，则 $a_{1} =$ .

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 相切，则该双曲线的离心率为.

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16. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为 $4$ 的菱形， $∠ A B C = 60^{0}$ ， $A A_{1} = 4$ ，过点 $B$ 与直线 $A C_{1}$ 垂直的平面交直线 $A A_{1}$ 于点 $M$ ，则三棱锥 $A - M B D$ 的外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 已知在 $Δ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 对应的边分别为 $a 、 b 、 c$ ， $b \sin B + a \sin C = a \sin A + c \sin C$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $c = 1$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $C$ ．

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18. 某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数 $μ = 14$ ，标准差 $σ = 2$ ，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估值．

(1)、从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为 $X$ ，依据以下不等式评判（ $P$ 表示对应事件的概率）
① $P (μ - σ < x < μ + σ) \geq 0.6862$

② $P (μ - 2 σ < x < μ + 2 σ) \geq 0.9544$

③ $P (μ - 3 σ < x < μ + 3 σ) = P (8 < x < 20) \geq 0.9974$

评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；

(2)、将数据不在 $(μ - 2 σ ， μ + 2 σ)$ 内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列与数学期望 $E Y$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = C D = 1$ ，过棱 $P C$ 的中点 $E$ ，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ .

(1)、证明： $P A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、若面 $D E F$ 与面 $A B C D$ 所成二面角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求 $P A$ 与面 $A B C D$ 所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短半轴长为 $\sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设 $A, B$ 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点 $A$ 在第一象限， $A E ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ，连接 $B E$ 并延长交椭圆于点 $D$ ，证明： $Δ A B D$ 是直角三角形．

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21. 设函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 2 (a + 1) \ln x (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明：若 $- 1 < a < 3$ ，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty), x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t \cos α, \\ y = 2 + t \sin α, \end{array}$ （ $t$ 为参数， $0 \leq α < π$ ），在以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{4}{\sqrt{1 + 3 \cos^{2} θ}}$ .

(1)、求 $l$ 的普通方程和 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若曲线 $C$ 截直线 $l$ 所得线段的中点的直角坐标为 $(1, 2)$ ，求直线 $l$ 的斜率.

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23. 设函数 $f (x) = | x - a | + | x + \frac{1}{a} |$ ，（实数 $a > 0$ ）

(1)、当 $a = 1$ ，求不等式 $f (x) > 3$ 的解集

(2)、求证： $f (x) \geq 2$ .

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