广东省茂名市2020届高三文数第一次综合测试试卷

试卷更新日期：2020-03-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 2 < x < 4}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{2 i}{i - 1}$ 在复平面内对应的点所在象限为（）

A、第二象限 B、第一象限 C、第四象限 D、第三象限

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3. 在集合 ${1, 2}$ 和 ${3, 4, 5}$ 中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 是单调函数，且 $f (x)$ 满足 $f (- 1) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) < f (2)$ B、 $f (- \frac{1}{2}) > f (2)$ C、 $f (- \frac{1}{2}) = f (2)$ D、 $f (\frac{1}{2}) = - 1$

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5. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - y \leq 5 ， \\ 2 x + y - 1 \geq 0 ， \\ x + 2 y - 2 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 3 x + y$ 的最小值为（）

A、1 B、3 C、5 D、11

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6. 公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率 $π$ ，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候 $π$ 的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则 $π$ 的近似值是（）（精确到 $0.01$ ）.（参考数据 $\sin 15 ° \approx 0.2588$ ）

A、3.14 B、3.11 C、3.10 D、3.05

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7. 已知 $\tan (\frac{π}{4} - α) = - \frac{1}{3}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C = 60 °$ ， $A B = 2$ ，且点 $M$ 满足 $\vec{B M} = 2 \vec{C M}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、3 B、6 C、8 D、12

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9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的左、右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 上，且线段 $P F_{1}$ 的中点坐标为 $(0 ， b)$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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11. 下列函数图象中，函数 $f (x) = x^{α} e^{| x |} (α \in Z)$ 的图象不可能的是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x^{2} - a x + 1 ， & x \leq 1 \\ x - a \ln x ， & x > 1 \end{array}$ $(a \in R)$ ，若函数 $f (x)$ 有四个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(e ， + \infty)$ C、 $(4 ， + \infty)$ D、 $(4 ， e^{2})$

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二、填空题

13. 已知圆 $C$ 的圆心坐标是 $(0, m)$ ，若直线 $x - y + 1 = 0$ 与圆 $C$ 相切于点 $A (- 2, - 1)$ ，则 $m =$ .

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} > 0$ ，且 $\lg a_{n}$ ， $\lg a_{n + 1}$ ， $\lg a_{n + 2}$ 成等差数列，若 $a_{3} a_{4} a_{6} a_{7} = 4$ ，则 $a_{5} =$ .

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15. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的右焦点为 $F$ ，直线 $l$ ： $y = \sqrt{3} x$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $A F ⊥ B F$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为：.

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16. 已知 $Δ A B C$ 内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ 且 $(2 a - c) \cos B = b \cos C$ ，则 $Δ A B C$ 面积的最大值为.

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三、解答题

17. 某学习小组在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是小组成员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日期	3月2日	3月8日	3月15日	3月22日	3月28日
温差 $x$ / $° C$	10	11	13	12	8
发芽数 $y$ /颗	23	25	30	26	14

（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）（参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 1319$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 598$ ）

(1)、在这个学习小组中负责统计数据的那位同学为了减少计算量，他从这5天中去掉了3月2日与3月28日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出

y

关于

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

；

(2)、若由线性回归方程得到的估计数据与所去掉的试验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠?

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点， $B C = A C$ ， $A B = 2 D C = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ .

(1)、求证：平面 $A_{1} D C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求点 $A$ 到平面 $A_{1} D C$ 的距离.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足， $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n}}{n} = \frac{1}{2} n (n + 1) (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、设 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $\forall n \in N^{*}$ ， $\frac{3}{4} \leq S_{n} < 1$ .

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20. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在抛物线 $C$ 上，且满足 $| P F | = y_{0} + 1$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过抛物线 $C$ 上的任意一点 $M$ 作抛物线 $C$ 的切线，交抛物线 $C$ 的准线于点 $N$ .在 $y$ 轴上是否存在一个定点 $H$ ，使以 $M N$ 为直径的圆恒过 $H$ .若存在，求出 $H$ 的坐标，若不存在，则说明理由.

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21. 设函数 $g (x) = \ln x + a e^{x}$ ， $h (x) = a x e^{x}$ ， $0 < a < \frac{1}{e}$ ，

(1)、求 $g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线的一般式方程；

(2)、请判断 $g (x)$ 与 $h (x)$ 的图像有几个交点?

(3)、设 $x_{0}$ 为函数 $g (x) - h (x)$ 的极值点， $x_{1}$ 为 $g (x)$ 与 $h (x)$ 的图像一个交点的横坐标，且 $x_{1} > x_{0}$ ，证明： $3 x_{0} - x_{1} > 2$ .

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22. 设 $A$ 为椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ 上任意一点，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 10 ρ \cos θ + 24 = 0$ ， $B$ 为 $C_{2}$ 上任意一点.
（Ⅰ）写出 $C_{1}$ 参数方程和 $C_{2}$ 普通方程；

（Ⅱ）求 $| A B |$ 最大值和最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 2 a | (a \in R)$ ，对 $\forall x \in R$ ， $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ .
（Ⅰ）求 $a$ 的值；

（Ⅱ）若 $\exists x \in R$ ，使不等式 $\frac{1}{2} f (x) - f (x + 2) \geq m^{2} + m$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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