广东省茂名市2020届高三理数第一次综合测试试卷

试卷更新日期：2020-03-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 2 < x < 4}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{2 i}{i - 1}$ 在复平面内对应的点所在象限为（）

A、第二象限 B、第一象限 C、第四象限 D、第三象限

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3. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{5} = a_{3} + 16$ ， $a_{1} = 1$ ，则 $a_{2} + a_{6} =$ （）

A、10 B、11 C、12 D、13

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4. 剪纸是我国的传统工艺，要剪出如下图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字.（）

A、 B、 C、 D、

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5. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1$ ， $S_{3} = 7$ ，则 $a_{3} \cdot a_{5} =$ （）

A、64 B、729 C、64或729 D、64或243

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6. 公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率 $π$ ，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候 $π$ 的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则 $π$ 的近似值是（）（精确到 $0.01$ ）.（参考数据 $\sin 15 ° \approx 0.2588$ ）

A、3.14 B、3.11 C、3.10 D、3.05

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7. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的左、右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 上，且线段 $P F_{1}$ 的中点坐标为 $(0 ， b)$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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8. 前进中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部派遣4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有（）种派遣方法.

A、120 B、96 C、48 D、60

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9. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) + \cos (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | \leq \frac{π}{2}$ ）的最小正周期为 $π$ ，且过点 $(0 ， \sqrt{2})$ ，则下列正确的为（）
① $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 单调递减.② $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{2}$ .③ $f (| x |)$ 的周期为 $\frac{π}{2}$ .④把函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位得到函数 $g (x)$ 的解析式为 $g (x) = \sqrt{2} \cos (2 x + \frac{π}{6})$

A、①② B、①③ C、①②③ D、①②④

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10. 下列函数图象中，函数 $f (x) = x^{α} e^{| x |} (α \in Z)$ 的图象不可能的是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知 $A (- \sqrt{2}, 0)$ ， $B (\sqrt{2}, 0)$ 及抛物线方程为 $x^{2} = 8 (y - 1)$ ，点 $P$ 在抛物线上，则使得 $Δ A B P$ 为直角三角形的点 $P$ 个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x^{2} - a x + 1 ， & x \leq 1 \\ x - a \ln x ， & x > 1 \end{array}$ $(a \in R)$ ，若函数 $f (x)$ 有四个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(e ， + \infty)$ C、 $(4 ， + \infty)$ D、 $(4 ， e^{2})$

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - y \leq 5 \\ 2 x + y - 1 \geq 0 \\ x + 2 y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最小值为.

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C = 60^{\circ}$ ， $A B = 2$ ，且点 $M$ 满足 $\overset{⇀}{B M} = 2 \overset{⇀}{C M}$ ，则 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{B C} =$ .

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15. 点 $P$ 为曲线 $y = 2 x^{2} + \ln (4 x + 1)$ $(x > - \frac{1}{4})$ 图象上的一个动点， $α$ 为曲线在点 $P$ 处的切线的倾斜角，则当 $α$ 取最小值时 $x$ 的值为.

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16. 如图，网格纸上小正方形的边长为 $0.5$ ，某多面体的正视图、左视图、俯视图为同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b \sin B + a (\sin A - \sin B) = c \sin C$ .
（Ⅰ）求角 $C$ 的大小；

（Ⅱ）求 $\sin A + \sin B$ 的取值范围.

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点， $B C = A C$ ， $A B = 2 D C = 2 \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 4$ .

（Ⅰ）求证： $B C_{1} //$ 平面 $A_{1} C D$ ；

（Ⅱ）求平面 $B C C_{1} B_{1}$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成锐二面角的平面角的余弦值.

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19. 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如下表：

每分钟跳

绳个数

$[165 ， 175)$

$[175 ， 185)$

$[185 ， 195)$

$[195 ， 205)$

$[205 ， 215)$

得分

（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于33分的概率；

（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差（结果四舍五入到整数），已知样本方差 $S^{2} \approx 77.8$ （各组数据用中点值代替）.根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，利用现所得正态分布模型：

（ⅰ）预估全年级恰好有1000名学生，正式测试时每分钟跳193个以上的人数.（结果四舍五入到整数）

（ⅱ）若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和期望.

附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ， $σ = \sqrt{77.8} \approx 9$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ，

$P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$

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20. 设函数 $f (x) = e^{x} - m x + n$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\ln 2 ， f (\ln 2))$ 处的切线方程为 $x - y - 2 \ln 2 = 0$ .
（Ⅰ）求 $m$ ， $n$ 的值；

（Ⅱ）当 $x > 0$ 时，若 $k$ 为整数，且 $x + 1 > (k - x) [f (x) + x + 1]$ ，求 $k$ 的最大值.

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21. 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上任取一点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线段 $P D$ ， $D$ 为垂足，当点 $P$ 在圆上运动时，点 $M$ 在线段 $P D$ 上，且 $\overset{⇀}{D M} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{D P}$ ，点 $M$ 的轨迹为曲线 $C_{1}$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、过抛物线 $C_{2}$ ： $y^{2} = 8 x$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，过 $F$ 且与直线 $l$ 垂直的直线交曲线 $C_{1}$ 于另一点 $C$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最小值，以及取得最小值时直线 $l$ 的方程.

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22. 设 $A$ 为椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ 上任意一点，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 10 ρ \cos θ + 24 = 0$ ， $B$ 为 $C_{2}$ 上任意一点.
（Ⅰ）写出 $C_{1}$ 参数方程和 $C_{2}$ 普通方程；

（Ⅱ）求 $| A B |$ 最大值和最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 2 a | (a \in R)$ ，对 $\forall x \in R$ ， $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ .
（Ⅰ）求 $a$ 的值；

（Ⅱ）若 $\exists x \in R$ ，使不等式 $\frac{1}{2} f (x) - f (x + 2) \geq m^{2} + m$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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