广东省化州市2020届高三理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-03-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | {log}_{2} x < 1}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 2}$ C、 ${2}$ D、 ${- 1 ， 0}$

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2. 设复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i} ， f (x) = x^{2} - x + 1$ ，则 $f (z) = ($ $)$

A、i B、 $- i$ C、 $- 1 + i$ D、 $1 + i$

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3. “∀x∈R ， x²﹣bx+1＞0成立”是“b∈[0，1]”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为4π，则（）

A、函数f（x）的图象关于原点对称 B、函数f（x）的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、函数f（x）图象上的所有点向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D、函数f（x）在区间（0，π）上单调递增

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5. 当实数x、y满足不等式组 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 2 x + y \leq 2 \end{matrix}$ 时，恒有ax+y≤3成立，则实数a的取值范围为（）

A、a≤0 B、a≥0 C、0≤a≤2 D、a≤3

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6. 函数f（x）＝a $^{1 - x^{2}}$ （a＞1）的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”，某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐，规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为 $a ， b ， c$ $(a > b > c)$ 且 $a ， b ， c \in N^{*}$ ；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为 $26$ 分，乙和丙最后得分都是 $11$ 分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是（）

A、乙有四场比赛获得第三名 B、每场比赛第一名得分 $a$ 为 $4$ C、甲可能有一场比赛获得第二名 D、丙可能有一场比赛获得第一名

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8. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

A、8 B、4 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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9. 在 $Δ Α Β C$ 中，三个内角 $Α$ ， $Β$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $S_{Δ Α Β C} = 2 \sqrt{3}$ ， $a + b = 6$ ， $\frac{a \cos Β + b \cos Α}{c} = 2 \cos C$ ，则 $c =$ （）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4$ D、 $3 \sqrt{3}$

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10. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的右焦点为F，点P 在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|=|PF|，则△PFO的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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11. 若 ${(x + \frac{1}{x} + 1)}^{n}$ 的展开式中各项的系数之和为 $81$ ，则分别在区间 $[0, π]$ 和 $[0, \frac{n}{4}]$ 内任取两个实数 $x$ ， $y$ ，满足 $y > \sin x$ 的概率为（）

A、 $1 - \frac{1}{π}$ B、 $1 - \frac{2}{π}$ C、 $1 - \frac{3}{π}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 定义：如果函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上存在 $x_{1} ， x_{2} (a < x_{1} < x_{2} < b)$ ，满足 $f^{'} (x_{1}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ， $f^{'} (x_{2}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，则称函数 $y = f (x)$ 是在区间 $[a ， b]$ 上的一个双中值函数，已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{6}{5} x^{2}$ 是区间 $[0 ， t]$ 上的双中值函数，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{5} ， \frac{6}{5})$ B、 $(\frac{2}{5} ， \frac{6}{5})$ C、 $(\frac{2}{5} ， \frac{3}{5})$ D、 $(1 ， \frac{6}{5})$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} =$ （3，4），则与 $\vec{a}$ 反向的单位向量为

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14. 设△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，若△ABC的面积为 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 \sqrt{3}}$ ，则C＝．

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15. 已知曲线 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3}$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $\frac{\sin^{2} α - \cos^{2} α}{2 \sin α \cos α + \cos^{2} α}$ 的值为．

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16. 已知两个集合A，B，满足B⊆A．若对任意的x∈A，存在a_i ， a_j∈B（i≠j），使得x=λ₁a_i+λ₂a_j（λ₁ ， λ₂∈{﹣1，0，1}），则称B为A的一个基集．若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B元素个数的最小值是。

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三、解答题

17. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₄＝9，S₃＝15.

(1)、求S_n；

(2)、设数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前n项和为T_n ，证明： $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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18. 如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝A₁D ， AB＝BC ， ∠ABC＝120°.

(1)、证明：AD⊥BA₁；

(2)、若平面ADD₁A₁⊥平面ABCD ，且A₁D＝AB ，求直线BA₁与平面A₁B₁CD所成角的正弦值.

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19. 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

交付金额（元）

支付方式

（0，1000]

（1000，2000]

大于2000

仅使用A

18人

9人

3人

仅使用B

10人

14人

1人

（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；

（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

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20. 已知直线x＝﹣2上有一动点Q，过点Q作直线l，垂直于y轴，动点P在l₁上，且满足 $\overset{⇀}{OP} \cdot \overset{⇀}{OQ} = 0$ (O为坐标原点)，记点P的轨迹为C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知定点M( $- \frac{1}{2}$ ，0)，N( $\frac{1}{2}$ ，0)，点A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求△MBD的内切圆半径r的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = (k x - 1) e^{x} - k (x - 1)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线斜率与k无关，求 $x_{0}$ ；

(2)、若 $\exists x \in R$ ，使得 $f (x)$ ＜0成立，求整数k的最大值．

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22. 在平面直角坐标系中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos θ \\ y = 2 + 2 \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、射线 $θ = \frac{π}{3} (ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{1} ， C_{2}$ 分别交于 $A ， B$ 两点（异于原点 $O$ ），定点 $M (2 ， 0)$ ，求 $Δ M A B$ 的面积.

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23. 设函数 $f (x) = | x - 2 | - | x + 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) < 3$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) < 3 + a$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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