广东省化州市2020届高三文数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-03-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x²>1}，则A∪B=（）

A、{x|0≤x≤1} B、{x|x>0或x<﹣1} C、{x|1<x≤2} D、{x|x≥0或x<﹣1}

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2. 复数 $z$ 满足 $\bar{z} = \frac{2 i}{1 - i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、-1 B、1 C、 $i$ D、 $- i$

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3. 双曲线x² $- \frac{y^{2}}{4} =$ 1的渐近线方程是（）

A、y=± $\frac{\sqrt{5}}{5}$ x B、y=± $\sqrt{5}$ x C、y=± $\frac{1}{2} x$ D、y=±2x

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4. 已知数列{a_n}满足2a_n=a_n_﹣₁+a_n₊₁(n≥2)，a₂+a₄+a₆=12，a₁+a₃+a₅=9，则a₃+a₄=（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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5. 已知向量 $\vec{a} = (x, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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6. “ $\cos 2 α = \frac{1}{2}$ ”是“ $α = k π + \frac{π}{6} (k \in Z)$ ”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底.描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹.现甲､乙两位工匠要完成A ， B ， C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间(单位：小时)如下：

则完成这三件原料的描金工作最少需要（）

A、43小时 B、46小时 C、47小时 D、49小时

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8. 设直线 $x - y - a = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $Δ A O B$ 为等边三角形，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $\pm \sqrt{3}$ B、 $\pm \sqrt{6}$ C、 $\pm 3$ D、 $\pm 9$

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9. 函数f（x）＝a $^{1 - x^{2}}$ （a＞1）的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知定义域为 $I$ 的偶函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，且 $\exists x_{0} \in I$ ， $f (x_{0}) < 0$ ，则下列函数中符合上述条件的是（）

A、 $f (x) = x^{2} + | x |$ B、 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ C、 $f (x) = {log}_{2} | x |$ D、 $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$

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11. 已知三棱锥A﹣BCD内接于球O ，且AD=BC=3，AC=BD=4，AB=CD $= \sqrt{13}$ ，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（）

A、38π B、9π C、76π D、19π

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12. 已知函数 $f (x) = ln x + a$ ， $g (x) = a x + b + 1$ ，若 $\forall x > 0$ ， $f (x) \leq g (x)$ ，则 $\frac{b}{a}$ 的最小值是（）

A、 $1 + e$ B、 $1 - e$ C、 $e^{- 1}$ D、 $2 e^{- 1}$

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二、填空题

13. 若关于 $x$ 的不等式 $(2 a - b) x + (a + b) > 0$ (的解集为 ${x | x > - 3}$ ，则 $\frac{b}{a} =$ .

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14. 若平面向量 $\vec{a}$ =（cosθ，sinθ）， $\vec{b}$ =（1，﹣1），且 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则sin2θ的值是．

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15. 若整数x、y满足不等式组 ${\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \leq x \leq 2 \\ x + y - 2 > 0 \end{array} \\ x - y + 2 > 0 \end{matrix}$ ，则z= $\frac{y}{x}$ 的最小值为.

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16. 三角形 $Δ A B C$ 中， $A B = 2$ 且 $A C = 2 B C$ ，则三角形 $A B C$ 面积的最大值为．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=c，2sinB= $\sqrt{3}$ sinA．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积．

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18. 如图，在三棱锥D﹣ABC中，O为线段AC上一点，平面ADC⊥平面ABC ，且△ADO ， △ABO为等腰直角三角形，斜边AO=4 $\sqrt{2}$ .

(Ⅰ)求证：AC⊥BD；

(Ⅱ)将△BDO绕DO旋转一周，求所得旋转体的体积.

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19. 现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表：

月收入(单位百元)	[15，25)	[25，35)	[35，45)	[45，55)	[55，65)	[65，75)
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	4	8	12	5	2	1

(Ⅰ)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异；

	月收入低于55百元的人数	月收入不低于55百元的人数	合计
赞成
不赞成
合计

(Ⅱ)若采用分层抽样在月收入在[15，25)，[25，35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15，25)的概率.

参考公式：K² $= \frac{n {(a d - b d)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d.

参考数据：

P(K²≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点(0，1)且离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设动直线l与两定直线l₁：x﹣y=0和l₂：x+y=0分别交于P ， Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值?若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} - x$ ， $g (x) = x^{2} + a x + b$ ， $a ， b \in R$ .
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线 $l$ 与曲线 $y = g (x)$ 切于点 $(1 ， c)$ ，求 $a ， b ， c$ 的值；

（Ⅲ）若 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求 $a + b$ 的最大值.

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22. 在平面直角坐标系中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos θ \\ y = 2 + 2 \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、射线 $θ = \frac{π}{3} (ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{1} ， C_{2}$ 分别交于 $A ， B$ 两点（异于原点 $O$ ），定点 $M (2 ， 0)$ ，求 $Δ M A B$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | - 2$ .

(1)、若 $a = 1$ ，解不等式 $f (x) + | 2 x - 3 | > 0$ ；

(2)、关于 $x$ 的不等式 $f (x) > | x - 3 |$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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