浙江省台州市2019届高三数学4月调研试卷

试卷更新日期：2020-03-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $A = {1, 2, 3, 4}$ ， $B = {2, 3}$ ，则集合 $A \cap (C_{U} B) =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${4}$ C、 ${1, 4, 5}$ D、 ${1, 4}$

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2. 已知 $x$ ， $y$ 满足条件 ${\begin{matrix} x - 2 y \leq 0 \\ 2 x + y - 5 \geq 0 \\ y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $x + y$ 的最小值是（）

A、 $9$ B、 C、 $3$ D、 $0$

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3. 一个几何体的三视图如图所示，侧视图为等腰直角三角形，则这个几何体的体积为（）

A、 $1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 已知 $a, b \in R$ ，则“ $a > b + 1$ ”是“ $| a | > b + 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 ${(x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{5} {(x + 1)}^{5}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、 $20$ B、 $- 20$ C、 $80$ D、 $- 80$

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6. 已知 $f (x) = \frac{1 - 3^{x}}{1 + 3^{x}} cos (2 x + α)$ ， $x \in R$ .则当 $α \in [0 ， π]$ 时， $f (x)$ 的图像不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若平面向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ 满足： $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{c} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 2$ ，且 $\overset{⇀}{c} \cdot (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}) = 0$ ，则 $| \overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{c} |$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{2} ， \sqrt{6}]$ B、 $[\sqrt{3} ， \sqrt{7}]$ C、 $[\sqrt{3} ， \sqrt{5}]$ D、 $[1 ， 3]$

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8. 已知六人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）

A、 $72$ B、 $96$ C、 $120$ D、 $288$

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9. 已知 $a > 1$ ，且函数 $f (x) ＝ 2 | x^{2} - x + a | + | x^{2} - 4 x + a |$ .若对任意的 $x \in (1, a)$ 不等式 $f (x) \geq (a - 1) x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， 9]$ B、 $(1 ， 25]$ C、 $[4 ， 25]$ D、 $[4 ， + \infty)$

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二、填空题

10. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步.问人车各几何？”其大意是：“每车坐 $3$ 人，两车空出来；每车坐 $2$ 人，多出 $9$ 人步行.问人数和车数各多少？”根据题意，其车数为辆.

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11. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足 $a_{2} + a_{8} = 6$ ， $S_{5} = - 5$ ，则 $a_{6} =$ ， $S_{n}$ 的最小值为.

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12. 设实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 4$ ，则 $a b$ 的最大值为， $(a^{2} + 1) (b^{2} + 1)$ 的最小值为.

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13. 一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球 $3$ 个、黑球 $2$ 个，现随机等可能取出小球.当有放回依此取出两个小球时，记取出的红球数为 $ξ_{1}$ ，则 $E (ξ_{1}) =$ ；若第一次取出一个小球后，放入一个红球和一个黑球，再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为 $ξ_{2}$ ，则 $E (ξ_{2}) =$ .

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14. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切于点 $T$ ，且直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于点 $P$ ，若 $\overset{⇀}{F_{1} P} = 3 \overset{⇀}{F_{1} T}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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15. 在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，∠ABD＝ $\frac{π}{6}$ .若 $A B ＝ \sqrt{3} B D$ ，则∠CAD＝；若 $A C = 2 A D = 2$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为.

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B C$ 的中点，在平面A₁B₁C₁D₁内，直线 $l // B_{1} D_{1}$ ，设二面角 $A - l - E$ 的平面角为 $θ$ ，当 $θ$ 取最大值时， $\cos θ =$ .

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) ＝ {sin}^{2} x - {cos}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x cos x$ ， $x \in R$ .
（Ｉ）求 $f (x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 如图棱锥 $P - A B C D$ 的底面是菱形， $A B = 2$ ， $∠ D A B ＝ \frac{π}{3}$ ，侧面 $P A B$ 垂直于底面 $A B C D$ ，且 $Δ P A B$ 是正三角形.
（Ｉ）求证： $P D ⊥ A B$ ；

（Ⅱ）求直线 $P C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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19. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 2 a_{n} - n$ ， $n \in N_{+}$ ．
（Ｉ）求证数列 ${a_{n} + 1}$ 为等比数列，并求通项公式 $a_{n}$ ；

（Ⅱ）若对任意的 $n \in N_{+}$ ，都有 $λ a_{n} \leq S_{n} + n - n^{2}$ ，求实数 $λ$ 的取值范围．

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20. 已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过点 $M (0, m)$ ，且直线 $l$ 交椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 于 $A$ ， $B$ 两个不同的点.
（Ｉ）若 $k = 1$ ，且 $A$ 是 $M B$ 的中点，求直线 $l$ 的方程；

（Ⅱ）若 $| A B |$ 随着 $| k |$ 的增大而增大，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} \cdot e^{x}$ （ $e$ 为自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \dots$ ）.
（Ｉ）若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有三个不同的解，求实数 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）若实数 $m$ ， $n$ 满足 $m + n = f (- 2)$ ，其中 $m > n$ ，分别记：关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上两个不同的解为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ；关于 $x$ 的方程 $f (x) = n$ 在 $(- 2 ， + \infty)$ 上两个不同的解为 $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，求证： $| x_{1} - x_{2} | > | x_{3} － x_{4} |$ .

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